Решить методом Фурье задачу о колебаниях струны конечной длины с закрепленными концами

Согласно методу Фурье решение уравнения колебаний utt=uxx будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
T''(t)Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
T''(t)Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-λTt=0
Граничные условия X0Tt=0 и X1Tt=0дают X0=X1=0, т.е. ищем ненулевые решения уравнения X''x-λXx=0 - обыкновенного линейного дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Условия X0=X1=0 дают только тривиальное решение c1=c2=0, т.е. X(x)≡0, поэтому λ=0 отбрасываем.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X1=0:
c1+c2=0c1eλ+c2e-λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=X1=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cos-λ+c2sin-λ=0
Получаем:
c1=0c2sin-λ=0
Тогда:
c2sin-λ=0 -λ=πn λ=-π2n2
Т.е