Решить интегральное уравнение yt=t22+0tet-τyτdτ

Применяем преобразование Лапласа:
yt Yp
et 1p-1
t2 2p3
Интеграл в правой части есть свертка функций yt и et, которой соответствует произведение изображений, поэтому получаем следующее операторное уравнение:
Yp=1p3+Ypp-1
1-1p-1Yp=1p3
p-2p-1Yp=1p3
Yp=p-1p3p-2
Представим изображение суммой дробей вида:
Ap+Bp2+Cp3+Dp-2
Тогда:
Ap+Bp2+Cp3+Dp-2=Ap2p-2+Bpp-2+Cp-2+Dp3p3p-2=
=A+Dp3+-2A+Bp2+-2B+Cp-2Cp3p-2≡p-1p3p-2
Приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+D=0-2A+B=0-2B+C=1-2C=-1 A=-18B=-14C=12D=18
Получили:
Yp=-18p-14p2+12p3+18(p-2)
Восстанавливаем оригинал и получаем решение интегрального уравнения:
yt=-18-t4+t24+e2t8