Решить дифференциальное уравнение второго порядка.
x''+20x'+75x=375t+1225; x0=35; x'0=-145.
Частное решение находится двумя способами:
а) методом неопределенных коэффициентов.
б) методом Лагранжа.
Решение
Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
x''+20x'+75x=375t+1225
Его общее решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
x''+20x'+75x=0
Теперь, составим и решим соответствующее характеристическое уравнение
λ2+20λ+75=0
D=202-4∙75=400-300=100
λ1,2=-20±1002
λ1=-15 и λ2=-5
Корнями характеристического уравнения являются действительные различные числа. Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:
x=C1e-15t+C2e-5t
Теперь найдем частное решения уравнения x''+20x'+75x=375t+1225.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:
x=At+B
Найдём первую и вторую производную:
x'=A
x''=0
Подставим x' и x'' в уравнение
x''+20x'+75x=375t+1225
0+20A+75At+B=375t+1225
75At+20A+75B=375t+1225
Приравняем друг к другу коэффициенты при t в обеих частях равенства, получим
75A=37520A+75B=1225
A=54A+15B=245
Отсюда находим, что A=5 и B=15
. Тогда частным решением будет функция
x=5t+15
а общим
x=C1e-15t+C2e-5t+5t+15
Воспользуемся методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной.
Будем считать, что C – это функция, зависящая от t.
Тогда общим решением заданного уравнения является выражение
x=C1t∙e-15t+C2t∙e-5t
Для определения функций C1t и C2t имеем систему уравнений:
C1't∙e-15t+C2't∙e-5t=0-15e-15t∙C1't-5e-5t∙C2't=375t+1225
C1't∙e-10t+C2't=03e-10t∙C1't+C2't=-e5t75t+245
Вычтем из первого уравнения второе.
C1't∙e-10t+C2't-3e-10t∙C1't+C2't=e5t75t+245
C1't∙e-10t-3e-10t∙C1't=e5t75t+245
-2e-10t∙C1't=e5t75t+245
C1't=e5t75t+245-2e-10t
C1't=-75t+2452e15t
Тогда, учитывая C2't=-C1't∙e-10t, получаем
C2't=--75t+2452e15t∙e-10t
C2't=75t+2452e5t
Проинтегрировав C1't и C2't, находим C1t и C2t:
C1t=-75t2e15t-2452e15tdt=-752t∙e15tdt-2452e15tdt=
=-52t∙e15t+16e15t-2452∙e15t15+C1=-52t∙e15t-8∙e15t+C1
C2t=75t2e5t+2452e5tdt=752t∙e5t dt+2452e5tdt=
=152t∙e5t-32∙e5t+492∙e5t+C2=152t∙e5t+23e5t+C2
Подставим C1t и C2t в x=C1t∙e-15t+C2t∙e-5t, получаем
x=-52t∙e15t-8∙e15t+C1∙e-15t+152t∙e5t+23e5t+C2∙e-5t=
=-52t-8+C1e-15t+152t+23+C2e-5t=C1e-15t+C2e-5t+5t+15
Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения имеет вид:
x=C1e-15t+C2e-5t+5t+15
Теперь найдем решение задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка при x0=35 и x'0=-145.
Вычислим первую производную общего решения
x'=-15C1e-15t-5C2e-5t+5
Составим систему уравнений, учитывая начальные условия.
C1e0+C2e0+0+15=35-15C1e0-5C2e0+5=-145C1+C2+15=35-15C1-5C2+5=-145C1+C2=203C1+C2=30
C1+C2-3C1+C2=20-30
C1+C2-3C1-C2=-10
-2C1=-10
C1=5
Тогда если C1=5, то C2=20-C1=20-5=15.
В итоге получим
x=5e-15t+15e-5t+5t+15
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
