Решить задачу Коши y''-y'=-2x+1 y0=1

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-k=0
kk-1=0
k1=0 или k2=1
Так как получены различные действительные корни, один из которых равен нулю, общее решение однородного уравнения выглядит так:
yо=C1ex+C2
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Ax2+Bx
Найдём первую и вторую производную от данного выражения:
y'=2Ax+B
y''=2A
Подставляем в уравнение:
2A-2Ax-B=-2x+1
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
-2A=-22A-B=1→A=1B=1
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=x2+x
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=yо+y=C1ex+C2+x2+x
Теперь найдём первую производную от полученного общего решения:
y'=C1ex+2x+1
Теперь применим первое начальное условие:
y0=C1+C2=1
Применим второе начальное условие:
y'0=C1+1=0
Получили систему уравнений:
C1+C2=1C1+1=0→C2=2C1=-1
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
y=-ex+2+x2+x