Исследовать на сходимость ряд n=1∞(-1)nnln(n+1)

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница:
1)> члены ряда убывают по абсолютной величине.
2)
Второе условие тоже выполнено, поэтому по теореме Лейбница исходный ряд сходится.
Исследуем ряд, составленный из абсолютных членов:n=1∞1nln(n+1)(*)
Используем 1nln(n+1)>1n+1ln⁡(n+1)
Для ряда n=1∞1(n+1)ln(n+1) используем интегральный признак Коши.
Рассмотрим функцию fx=1(x+1)ln(x+1) - непрерывная, положительная и строго убывающая на 3;+∞)
3+∞dx(x+1)ln(x+1)=limB→+∞3Bdx(x+1)ln(x+1)=limB→+∞3Bd(lnx+1)ln(x+1)=limB→+∞lnln⁡(x+1)B3=limB→+∞lnlnB+1-ln⁡(ln4)=∞-lnln4=∞→
Интеграл 3+∞dx(x+1)ln(x+1) расходится, Ряд n=1∞1(n+1)ln(n+1) расходится.
Тогда (*) тоже расходится(по признаку сравнения в непредельной форме)