Решить задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения

Найдем общее решение однородного уравнения:
y'''+5y''=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k3+5k2=0
k2k+5=0
k1,2=0, k3=-5
Среди корней характеристического уравнения есть действительные различные и действительные кратные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1+C2x+C3e-5x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=0, которое совпадает с корнем характеристического уравнения кратности 2. Имеет место резонансный случай, поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=x2Ax2+Bx+C=Ax4+Bx3+Cx2
Найдем производные, входящие в уравнение:
y'=4Ax3+3Bx2+2Cx
y''=12Ax2+6Bx+2C
y'''=24Ax+6B
Подставим данные значения в исходное уравнение:
24Ax+6B+512Ax2+6Bx+2C=15x2-14x+6
60Ax2+24A+30B+6B+10C=15x2-14x+6
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x:
60A=1524A+30B=-146B+10C=6 A=14B=-23C=1
y=14x4-23x3+x2
Общее решение уравнения запишем в виде:
y=y0+y=C1+C2x+C3e-5x+14x4-23x3+x2
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=1 => C1+C3=1
y'=C2-5C3e-5x+x3-2x2+2x
y'0=0 => C2-5C3=0
y''=25C3e-5x+3x2-4x+2
y''0=27 => 25C3+2=27
C1+C3=1C2-5C3=025C3+2=27 => C1=0C2=5C3=1
Частное решение уравнение:
y=5x+e-5x+14x4-23x3+x2