Решить уравнение в полных дифференциалах

Преобразуем исходное уравнение
x+yx2+y2dx+y-xx2+y2dy=0
Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку
∂Q∂x=∂y-xx2+y2∂x=x2-y2x2+y22=∂P∂y=∂x+yx2+y2∂y=x2-y2x2+y22.
Найдем функцию u(x,y) из системы двух уравнений:
∂u∂x=x+yx2+y2∂u∂y=y-xx2+y2
Интегрируя первое уравнение по переменной x, получаем:
ux,y=x+yx2+y2dx=x22+arctgxy+φy
Подставляя во второе уравнение, имеем:
∂u∂y=∂∂yx22+arctgxy+φy=-xy2x2y2+1+φ'y=y-xx2+y2=>
φ'y=y
Следовательно,
φy=ydy=y22
Тогда функция u(x,y) определятся выражением
ux,y=x22+arctgxy+y22, а общее решение дифференциального уравнения описывается неявной формулой
x22+y22+arctgxy=C.
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y1=1=>122+122+arctg11=C=>C1=1+π4
Подставим найденное значение в общее решение уравнения, получим частнове решение:
x22+y22+arctgxy=1+π4.
Ответ:x22+y22+arctgxy=1+π4.