Решить уравнение в полных дифференциалах. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Решить уравнение в полных дифференциалах

Решить уравнение в полных дифференциалах .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить уравнение в полных дифференциалах: 2xcos2ydx+2y-x2sin2ydy=0

Ответ

x2cos2y+y2=C.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку
∂Q∂x=∂(2y-x2sin2y)∂x=-2xsin2y=∂P∂y=∂2xcos2y∂y=-2xsin2y.
∂2xcos2y∂y=2x∙2cosy∙cosy'=-2x∙2cosy∙siny2cosy∙siny=sin2y
=-2xsin2y
И где ошибка?
Найдем функцию u(x,y) из системы двух уравнений:
∂u∂x=2xcos2y∂u∂y=2y-x2sin2y
Интегрируя первое уравнение по переменной x, получаем:
ux,y=2xcos2ydx=x2cos2y+φy
Подставляя во второе уравнение, имеем:
∂u∂y=∂∂yx2cos2y+φy=2x2-2cosysiny+φ'y=2y-x2sin2y=>
φ'y=2y
Следовательно,
φy=2ydy=y2
Тогда функция u(x,y) определятся выражением
ux,y=x2cos2y+y2, а общее решение дифференциального уравнения описывается неявной формулой
x2cos2y+y2=C.
Ответ: x2cos2y+y2=C.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу