Решить однородные линейные разностные уравнения (с использованием и без использования преобразования Лапласа)

Xn+2+6x[n+1]+9x[n]=0, x[0]=0, x[1]=2
1) с использованием преобразования Лапласа
Применяем дискретное преобразование Лапласа:
xn X*p
xn+1 epX*p-x0=epX*p
xn+2 epepX*p-epx0-x1=e2pX*p-2ep
И получаем операторное уравнение:
e2pX*p-2ep+6epX*p+9X*p=0
e2p+6ep+9X*p=2ep
X*p=2epep+32
C учетом того, что:
ddpepep+3=3epep+32
Применяем теорему о дифференцировании изображения:
-1knkfn dkdpkF*p
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
xn=-2n3∙-3n
2) без использования преобразования Лапласа
Записываем характеристическое уравнение и решаем его:
k2+6k+9=0
(k+3)2=0
k1,2=-3
По виду корней (вещественный, кратный) получаем общее решение разностного уравнения:
xn=(c1n+c2)(-3)n
Для нахождения частного решения, подставляем условия x[0]=0, x[1]=2:
0=c22=-3(c1+c2) c1=-23c2=0
Получаем:
xn=-2n3∙-3n
Как видим, результаты идентичны.