Решить однородные линейные разностные уравнения (с использованием и без использования преобразования Лапласа)

Xn+2-5xn+1+6xn=0, x0=1, x1=0
1) с использованием преобразования Лапласа
Применяем дискретное преобразование Лапласа:
xn X*p
xn+1 epX*p-x0=epX*p-ep
xn+2 epepX*p-epx0-x1=e2pX*p-e2p
И получаем операторное уравнение:
e2pX*p-e2p-5epX*p-ep+6X*p=0
e2p-5ep+6X*p=e2p-5ep
X*p=e2p-5epep-2ep-3
Представим изображение суммой дробей вида:
Aepep-2+Bepep-3
Тогда:
Aepep-2+Bepep-3=Aepep-3+Bepep-2ep-2ep-3=
=(A+B)e2p+-3A-2Bepep-2ep-3≡e2p-5epep-2ep-3
Приравниваем соответствующие коэффициенты и получаем:
A+B=1-3A-2B=-5 A=3B=-2
Получили
X*p=3epep-2-2Bepep-3
Используем соотношение:
an epep-a
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
xn=3∙2n-2∙3n
2) без использования преобразования Лапласа
Записываем характеристическое уравнение и решаем его:
k2-5k+6=0
k-2k-3
k1=2;k2=3
По виду корней (вещественные) получаем общее решение уравнения:
xn=c12n+c23n
Для нахождения частного решения, подставляем условия x0=1, x1=0:
1=c1+c20=2c1+3c2 c1=3c2=-2
Окончательно имеем:
xn=3∙2n-2∙3n
Как видим, результаты идентичны.