Решить дифференциальные уравнения x2∙y∙y''=y-x∙y'2. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Решить дифференциальные уравнения x2∙y∙y''=y-x∙y'2

Решить дифференциальные уравнения x2∙y∙y''=y-x∙y'2 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить дифференциальные уравнения x2∙y∙y''=y-x∙y'2

Ответ

y=x∙eC2-C1x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Имеем однородное уравнение относительно y,y',y''.
Пусть u=y'y
y'=u∙y, y''=u'∙y+u∙y'=u'∙y+u∙u∙y=u'∙y+u2∙y
x2∙y∙u'∙y+u2∙y=y-x∙u∙y2
x2∙y2∙u'+u2=y∙1-x∙u2
x2∙y2∙u'+u2=y2∙1-x∙u2
x2∙u'+u2=1-x∙u2
Приведем уравнение к однородному подстановкой u=1z⟹du=-dzz2
-x2z2∙dzdx+x2z2=1-xz2
x2z2-x2z2∙dzdx=1-2∙xz+x2z2
-x2z2∙dzdx=1-2∙xz
Получили однородное уравнение . Делаем замену v=zx
z=v∙x, dz=vdx+xdv
-x2v∙x2∙vdx+xdvdx=1-2∙xv∙x
-x2v2∙x2∙vdx+xdv=1-2vdx
-vdx+xdvv2=1-2vdx
-dxv-xdvv2=1-2vdx
-xdvv2=1-1vdx
dvv2-v=-dxx
Уравнение с разделяющимися переменными
dvv2-v=-dxx
dvv2-v=1v2-vdv=v-v-1v∙v-1dv=vv∙v-1dv-v-1v∙v-1dv=dvv-1-dvv=dv-1v-1-dvv=lnv-1-lnv=lnv-1v
lnv-1v=-lnx+lnC
lnv-1v=lnCx
v-1v=Cx
1-1v=Cx
1v=1+Cx=x+Cx
v=xx+C
Обратные замены
zx=xx+C
z=x2x+C
u=1x2x+C=x+Cx2
y'=x+Cx2∙y
dydx=x+Cx2∙y
dyy=1x+Cx2dx
Уравнение с разделяющимися переменными
dyy=1x+Cx2dx
lny=dxx+C∙dxx2
lny=lnx+C∙x-1-1
lny=lnx-C1x+C2
y=elnx-C1x+C2=elnx∙e-C1x+C2=x∙eC2-C1x
Ответ: y=x∙eC2-C1x

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу