Решить дифференциальные уравнения 3y4+y'''=6x-1

Решаем сначала однородное уравнение:
3y4+y'''=0.
Составляем характеристическое уравнение:
3y4+y'''=0⟹3k4+k3=0⟹k33k+1=0⟹k1,2,3=0; k4=-13.
yоднx=C1e0x+C2xe0x+C3x2e0x+C4e-13x=C1+C2x+C3x2+C4e-13x.
Проверяемое число "0" совпадает с трехкратным корнем k1,2,3=0, , поэтому частное решение неоднородного уравнения запишется в виде y*=x3Ax+B=Ax4+Bx3.
Найдем
y*'=4Ax3+3Bx2;y*''=12Ax2+6Bx;
y*'''=24Ax+6B;y4=24A.
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
3∙24A+24Ax+6B=6x-1
⟹24A=672A+6B=-1⟹A=14B=-196.
Тогда y*=14x4-196x3.
Общее решение исходного уравнения:
yx=yоднx+y*x=C1+C2x+C3x2+C4e-13x+14x4-196x3.
Ответ: yx=C1+C2x+C3x2+C4e-13x+14x4-196x3.