Решить дифференциальные уравнения 2ydx+x-ydy=0

Представим уравнение в виде:
2ydx+x-ydy=0
2y∙dxdy+x=y
2y∙x'+x=y
Это линейное неоднородное уравнение относительно x
Его решение будем искать в виде:
xy=uyvy => x'=u'v+uv'
2yu'v+uv'+uv=y
2yu'v+u2yv'+v=y (*)
Выберем функцию v таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю.
2yv'+v=0 2y∙dvdy=-v dvv=-dy2y
Интегрируем обе части уравнения:
dvv=lnv -dy2y=-12lny+C
Выберем частное решение при C=0
lnv=-12lny => v=1y
Подставим данное значение в уравнение (*)
2yu'=y dudy=y2 du=12ydy => u=12ydy=13yy+C1
xy=13yy+C1∙1y=13y+C1y
Получили общее решение уравнения.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Представим уравнение в виде:
y'-2xy1+x2=1
Решение уравнения будем искать в виде:
y=ux∙vx => y'=u'v+uv'
u'v+uv'-2xuv1+x2=1
u'v+uv'-2xv1+x2=1 (*)
Выберем функцию v(x) таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю.
v'-2xv1+x2=0 dvdx=2xv1+x2 dvv=2xdx1+x2
Интегрируем обе части уравнения:
dvv=lnv 2xdx1+x2=d1+x21+x2=ln1+x2+C
Выберем частное решение при C=0
lnv=ln1+x2
v=1+x2
Подставим данное значение в уравнение (*)
u'1+x2=1 dudx=11+x2 du=dx1+x2 u=dx1+x2=arctg x+C1
y=ux∙vx=arctg x+C1∙(1+x2)