Решить дифференциальное уравнение высших порядков. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Решить дифференциальное уравнение высших порядков

Решить дифференциальное уравнение высших порядков .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить дифференциальное уравнение высших порядков, допускающие понижение порядка. y∙y''+y'2-2∙y∙y'=0; y=1, y'=2, x=0

Ответ

y=2∙e2∙x-1

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Пусть y'=py⟹y''=dy'dx=dpdx=dpdy∙dydx=p∙p'. Тогда исходное уравнение примет вид:
y∙p∙p'+p2-2∙y∙p=0
p∙y∙p'+p-2∙y=0
p=0
y'=0 ⟹y=C
y∙p'+p-2∙y=0
y∙p'+p=2∙y, y∙p'=2∙y, dy∙pdy=2∙y, dy∙p=2∙y∙dy
dy∙p=2∙ydy, y∙p=2∙ydy, y∙p=2∙y22+C, y∙p=y2+C, p=y+Cy
Обратная замена
y'=y+C1y, dydx=y+C1y, yy2+C1dy=dx, yy2+C1dy=dx
yy2+C1dy=Заменаt=y2+C1⟹dt=2∙y∙dy=12∙1tdt=lnt2+C2=Обратная подстановка=lny2+C12+C2
lny2+C12+C2=x, lny2+C1=2∙x+C2, y2+C1=C2e2∙x, y2=C2e2∙x+C1⟹y=±C2∙e2∙x+C1
Итого получили 3 решения:
y=Сy=C2∙e2∙x+C1y=-C2∙e2∙x+C1
Определим из начальных условий неизвестные коэффициенты:
y=С
y0=C=1
y'x=0, y'0=0≠2
Следовательно, данное решение не удовлетворяет начальным условиям, а значит не может являться решением.
y=C2∙e2∙x+C1
y0=C2∙e2∙0+C1=C2∙e0+C1=C2∙1+C1=C2+C1=1, C2+C1=1
y'x=2∙C2∙e2∙x+02∙C2∙e2∙x+C1=C2∙e2∙xC2∙e2∙x+C1
y'0=C2∙e2∙0C2∙e2∙0+C1=C2∙e0C2∙e0+C1=C2∙1C2∙1+C1=C2C2+C1=т.к

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу