Решить дифференциальное уравнение на отрезке при заданном начальном условии различными методами:
используя формулу Эйлера,
используя первую улучшенную формулу Эйлера,
используя вторую улучшенную формулу Эйлера,
используя формулу Рунге—Кутты.
Решение
Fx, y=sinx+y+0,5 на отрезке 5,6 при y(5)=0,5 с шагом h=0,1
Решим уравнение методом Эйлера.
Формула для расчета : yi+1=yi+ hf(xi,yi)
Выполним расчеты и занесем их в таблицу
i
xi
yi
f(xi,yi)
hf(xi,yi)
0 5 0,5 -0,20554033 -0,020554033
1 5,1 0,479446 -0,14707318 -0,014707318
2 5,2 0,464739 -0,07977023 -0,007977023
3 5,3 0,456762 -0,00244444 -0,000244444
4 5,4 0,456517 0,086160066 0,008616007
5 5,5 0,465133 0,187283033 0,018728303
6 5,6 0,483861 0,301993421 0,030199342
7 5,7 0,514061 0,430930562 0,043093056
8 5,8 0,557154 0,573901151 0,057390115
9 5,9 0,614544 0,729300232 0,072930023
10 6 0,687474 0,893364923 0,089336492
Построим графическое решение:
Решим дифференциальное уравнение с помощью первой улучшенной формулы Эйлера:
xi+12=xi+h2
yi+12=yi+h2f(xi, yi) yi+1=yi+h2f(xi+12, yi+12)
Вычислим промежуточные значения на половинном шаге
x12=x0+h2=5+0,12 = 5,05
f0=sinx0+y0+0,5=sin5+0,5+0,5=-0,20554
y12=y0+h2f0=0,5+0,12(-0,20554)=0,489723
f12=sinx12+y12+0,5=sin0,05+0,489723+0,5=-0,17684
y1=y0+h2f(x12, y12)=0,5+0,05*(-0,17684)=0,491158
Остальные расчеты запишем в таблицу
i
xi
xi*
yi
f(xi,yi)
hf(xi,yi)
0 5 5,05 0,50000 -0,17684 -0,00884
1 5,1 5,15 0,49116 -0,09882 -0,00494
2 5,2 5,25 0,48622 -0,02010 -0,00101
3 5,3 5,35 0,48521 0,06686 0,00334
4 5,4 5,45 0,48855 0,16215 0,00811
5 5,5 5,55 0,49666 0,26568 0,01328
6 5,6 5,65 0,50995 0,37707 0,01885
7 5,7 5,75 0,52880 0,49561 0,02478
8 5,8 5,85 0,55358 0,62010 0,03101
9 5,9 5,95 0,58459 0,74876 0,03744
10 6 6,05 0,62202 0,87911 0,04396
Графическое решение:
Решим дифференциальное уравнение с помощью второй улучшенной формулы Эйлера:
yk+1=yk+hf(xk,yk)
yk+1=yk+h2(fxk,yk+ fxk+1,yk+1
Вычислим промежуточные значения
x0=5 y0=0,5 f0=-0,20554
y1=y0+0,1f0=0,5+0,1*-0,20554=0,47446
f1=sinx1+y1+0,5=sin5,1+0,47446+0,5=-0,15087
y1=0,5+0,05-0,320554-0,15087=0,47643
Остальные расчеты запишем в таблицу
0 5 0,5 -0,20554
1 5,1 0,47643 -0,15287 -0,01792
2 5,2 0,45851 -0,08483 -0,01189
3 5,3 0,446624 -0,01118 -0,00480
4 5,4 0,441823 0,07283 0,00308
5 5,5 0,444906 0,16814 0,01205
6 5,6 0,456954 0,27569 0,02219
7 5,7 0,479145 0,39615 0,03359
8 5,8 0,512737 0,52955 0,04628
9 5,9 0,559022 0,67493 0,06022
10 6 0,619246 0,82977 0,07524
Решим дифференциальное уравнение с помощью метода Рунге-Кутты:
k1=f(x0,y0)
k2=f(x0+h2,y0+hk12)
k3=f(x0+h2,y0+hk22)
k4=f(x0+h,y0+hk3)
∆y0=h6(k1+2k2+2k3+k4)
y1=y0+∆y0
k1=sin5+0,5+0,5=-0,20554
k2=sin5+0,05+0,5+0,05*(-0,20554)+0,5=-0,17684
k3=sin5+0,05+0,5+0,05*(-0,17684)+0,5=-0,17578
k4=sin5+0,1+0,5+0,1*(-0,17578)+0,5=-0,14480
∆y0=0,16(-0,20554+2-0,17684+2-0,217578-0,14480)= - 0,01759
y1=0,5-0,01759
Остальные расчеты запишем в таблицу
i
xi
yi
к1 к2 к3 к4 Δу
0 5 0,50000 -0,20554 -0,17684 -0,17578 -0,14480 -0,01759
1 5,1 0,48241 -0,14481 -0,11155 -0,11023 -0,07434 -0,01105
2 5,2 0,47136 -0,07436 -0,03587 -0,03425 0,00725 -0,00346
3 5,3 0,46791 0,00722 0,05165 0,05364 0,10147 0,00532
4 5,4 0,47323 0,10143 0,15252 0,15491 0,20977 0,01543
5 5,5 0,48866 0,20972 0,26809 0,27093 0,33335 0,02702
6 5,6 0,51568 0,33328 0,39933 0,40261 0,47276 0,04017
7 5,7 0,55584 0,47266 0,54628 0,54995 0,62731 0,05487
8 5,8 0,61072 0,62719 0,70738 0,71130 0,79424 0,07098
9 5,9 0,68170 0,79410 0,87854 0,88244 0,96776 0,08806
10 6 0,76976 0,96760 1,05216 1,05568 1,13819 0,10536
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
