Решение нелинейного уравнения.
Решить нелинейное уравнение 23x=28 четырьмя различными методами:
-методом бисекции;
-методом хорд;
-методом Ньютона;
-методом простых итераций.
Выполнить по 6 итераций каждым методом, сравнить погрешность вычислений.
Решение
Строим график функции fx=23x-28 в MathCad:
Корень находится на отрезке a;b=1;2. На данном отрезке функция возрастает, график функции вогнутый
f'x>0, f''x>0
1) метод бисекции (половинного деления)
Шаг 1
вычисляем значение функции в середине отрезка a;b
c=b+a2
Шаг 2
Из двух отрезков a;c и c;b выбираем один, в котором произведение значений функций на концах меньше нуля
Т.е. если fa∙fc<0, то переходим к шагу 1, приняв, в качестве конца отрезка b=с, иначе в качестве начала отрезка принимаем a=c
Процесс продолжается, пока b-a>ε
В качестве ответа принимается x=b+a2
Вычисления сведём в таблицу:
n a c b fa
fc
f(b)
fa∙fc
fb∙fc
b-a
0 1 1,5 2 -20 -5,37258 36 >0 <0 1
1 1,5 1,75 2 -5,37258 10,0546 36 <0 >0 0,5
2 1,5 1,625 1,75 -5,37258 1,34413 10,0546 <0 >0 0,25
3 1,5 1,5625 1,625 -5,37258 -2,23215 1,34413 >0 <0 0,125
4 1,5625 1,59375 1,625 -2,23215 -0,50209 1,34413 >0 <0 0,0625
5 1,59375 1,60938 1,625 -0,50209 0,40602 1,34413 <0 >0 0,03125
6 1,59375 1,60156 1,60938
0,01563
На шестой итерации принимаем
x=b+a2≈1.60156
2) метод хорд
Будем искать решение на отрезке 1;2
Итерационная формула имеет вид:
xn+1=xn-f(xn)∙(xn-x0)fxn-f(x0)
x0=1, x1=2
Процесс продолжается, пока xn-xn-1>ε
. Вычисления сведём в таблицу:
n xn
fxn
xn-xn-1
0 1 -20
1 2 36 1
2 1,357143 -11,1879 0,642857
3 1,810573 15,16289 0,45343
4 1,461039 -7,1335 0,349534
5 1,71665 7,504993 0,255611
6 1,521105 -4,35741 0,195545
На шестой итерации получаем xn-xn-1≈0.20
Корень
x≈1.52
3) метод Ньютона (касательных)
В качестве начального приближения выберем точку x0=2, поскольку выполнено условие сходимости
fx0 f''x0>0
Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять
xn+1- xn<ε
(то есть погрешность в нужных пределах), вычисляем новое приближение:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Производную можно вычислить аналитически:
f'x=3∙8xln2
Вычисления сведём в таблицу:
n xn
fx
f'x
xn+1
xn+1- xn
0 2 36 133,08426 1,72949468 0,270505
1 1,72949468 8,4661008 75,829125 1,617847594 0,11165
2 1,617847594 0,9109234 60,118575 1,602695482 0,015152
3 1,602695482 0,0142011 58,253894 1,602451702 0,000244
4 1,602451702 3,599E-06 58,224371 1,602451641 6,18E-08
5 1,602451641 2,345E-13 58,224363 1,602451641 4E-15
6 1,602451641
Принимаем:
x=1.602451641
4) Метод простой итерации
Необходимо представить исходное уравнение в виде
x=φx.
В данном случае:
23x=28
23x-28100-x=-x
φx=x-23x-28100
Для сходимости метода простой итерации достаточно, чтобы φ'(x)<1.
φ'x=1-3∙23xln2100
Строим график производной:
Условие сходимости выполнено при 1<x<2.
По методу простой итерации каждое следующее приближение получается из предыдущего по формуле:
xk+1=φ(xk)
Процесс продолжается, пока q1-qxk+1-xk>ε, q=23.5=0.571-максимальное значение первой производной по модулю.
Примем x0=2
Вычисления сведём в таблицу:
k xk
φxk+1
xk+1-xk
0 2 1,64
1 1,64 1,617262 0,36
2 1,617262 1,608504 0,022738
3 1,608504 1,604958 0,008757
4 1,604958 1,603495 0,003546
5 1,603495 1,602887 0,001463
6 1,602887
Принимаем:
x=1.602887
Погрешности вычислений и сравнение результатов.
Точное значение
Метод Значения Погрешность
абсолютная Погрешность
относительная
Метод
бисекции
1,6015625 0,00089 0,055%
Метод хорд 1,521 0,081 5,08%
Метод Ньютона 1,602451641 0,00 0,00%
Метод простых итераций 1,60289 0,00044 0,0272%
истинное
значение
(MathCad) 1,602451641
При сравнении результатов, сделанных четырьмя различными методами и эталонного результата, делаем вывод, что наилучший результат на 6-ти итерациях даёт метод Ньютона
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
