Разложить в ряд Фурье функцию у=х2 заданную в сегменте -1

Так как функция четная, то коэффициенты bn=0. Тогда
a0=11-11x2dx=201x2dx=2x2301=2π∙13=23
an=11-11fxcosnπxdx=201fxcosnπxdx=201x2cosnπxdx.
Применим дважды интегрирование по частям.
an=201x2cosnπxdx=u=x2du=2xdxdv=cosnπxdxv=cosnxπdx=sinnπxnπ=
=2x2sinnπxn01-012xsinnπxnπdx=2sinnπ-201xsinnπxnπdx=
=u=xdu=dxdv=sinnπxdxv=sinnπxdx=-cosnπxnπ=
=-2πn-xcosnπxnπ01-01-cosnxnπdx=
=4π2n2cosnπx-sinnπxnπ01=
Поскольку sinnπ=0 и cosnπ=(-1)n для натуральных n, то получаемan=4π2n2-1n
Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид:
fx=13+n=1∞-1n4π2n2∙cosnx.