Разложить функцию fx заданную на интервале 0,1

1) по косинусам:
Продолжим функцию на промежуток -6;0 четным образом.
Ряд Фурье данной функции будем искать в виде
a02+n=1∞ancosnπxl,
где
an=2l0lfxcosnπxldx, n=0,1,2,…
коэффициенты ряда Фурье.
Так как в данном случае l=6, то имеем
a0=2606fxdx=13033dx+13366-xdx=
=x03-136-x2236=3+16∙9=92.
Найдем коэффициенты an при n=1,2,… :
an=1306fxcosnπx6dx=03cosnπx6dx+13366-xcosnπx6dx=
=6nπ∙sinnπx603+2nπ366-xdsinnπx6=
=6nπ∙sinnπ2+2nπ6-xsinnπx636+36sinnπx6dx=
=6nπ∙sinnπ2+2nπ-3sinnπ2-6nπ∙cosnπx636=-12-1n-cosnπ2nπ2.
Выпишем ряд Фурье данной функции fx:
Sx=94-12π2n=1∞-1n-cosnπ2n2cosnπx6.
Для данной функции выполнены все условия теоремы Дирихле. На промежутках -6,0);(0;6 функция fx непрерывна и выполняется равенство fx=Sx. На концах интервала справедливы соотношения:
S-6=S6=f-6+0+f6-02=0+02=0,
S0=f-0+f+02=3+32=3.
При этом
Sx+12n=Sx, n∈Z.
Учитывая периодичность строим график периодической функции y=Sx.
2) по синусам:
Продолжим функцию на промежуток -6;0 нечетным образом.
Ряд Фурье данной функции будем искать в виде
n=1∞bnsinnπxl,
где
bn=2l0lfxsinnπxldx, n=1,2,…
коэффициенты ряда Фурье.
Так как в данном случае l=6, то имеем
bn=1306fxsinnπx6dx=03sinnπx6dx+13366-xsinnπx6dx=
=-6nπ∙cosnπx603-2nπ366-xdcosnπx6=
=-6nπ∙cosnπ2-1-2nπ6-xcosnπx636+36cosnπx6dx=
=-6nπ∙cosnπ2-1-2nπ-3cosnπ2+6nπ∙sinnπx636=
=6nπ-12-sinnπ2nπ2=6nπ+12sinnπ2nπ2.
Выпишем ряд Фурье данной функции fx:
Sx=6π2n=1∞πn+2sinnπ2n2sinnπx6.
Для данной функции выполнены все условия теоремы Дирихле . На промежутках -6,0);(0;6 функция fx непрерывна и выполняется равенство fx=Sx