Разложение функции в ряд Фурье. Бесплатный доступ к решению задач

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Разложение функции в ряд Фурье. Заданную на [0,T] функцию продолжить по нечетности на [-T,0] и разложить в ряд Фурье на [-T,T] . Построить графики получившегося ряда и суммы первых двух ненулевых слагаемых и оценить квадрат нормы невязки для этой суммы. fx=1-xT

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Продолжив по нечетности, получим
fx=-1-xT, -T≤x≤01-xT, 0<x≤T
Найдем коэффициенты ряда Фурье.
bk=2T0TfxsinkπxTdx=2T0T1-xTsinkπxTdx=
=-2kπ1-xTcoskπxTT0-2kπT0TcoskπxTdx=
=2kπ-2k2π2sinkπxTT0=2kπ.
Ряд Фурье имеет вид
fx=2πk=1∞1ksinkπxT
Сумма первых двух неравных нулю членов ряда
Sx=0,637sinπxT+0,318 sin2πxT.
Графики получившегося ряда и суммы первых двух ненулевых слагаемых
построены на рис.
Оценим квадрат нормы невязки.
ρ2=-TTf2xdx-a12φ12-a22φ22=
=20T1-xT2dx-4π2-TTsin2πxTdx-1π2-TTsin22πxTdx=
=20T1-2xT+x2T2dx-2π2-TT1-cos2πxTdx-
-12π2-TT1-cos2πxTdx=
=2x-x2T+x33T2T0-4Tπ2-Tπ2=23-5π2T=0,16 T.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу