Постановка задачи: Рассматривается производственная система с линейной технологией, выпускающая один вид продукции и затрачивающая при этом ресурсы двух видов: труд и капитал. Три основных способа производства имеют вид: A1=a11;a21, A2=a12;a22, A3=a13;a23.
Необходимо изучить поведение производственной функции, как функции только капитала при фиксированном количестве используемого труда, если стоимости единицы продукта по каждой из технологий имеют соответственно значения: C1; C2; C3 в таблице 2.4.
Таблица 2.1 - Варианты заданий к лабораторной работе
№ вар. Т A1
A2
A3
C1
C2
C3
2 5 6; 3 1; 3 1; 8 3 1 2
В заключение дать комментарий к основным этапам решения, указать все объективно обусловленные оценки ресурса K, при различных запасах этого ресурса.
Решение
Составим математическую модель задачи.
Прямая задача: Двойственная задача:
3x1+x2+2x3→max
6x1+x2+x3≤K3x1+3x2+8x3≤5
Kp1+5p2→min
6p1+3p2≥3p1+3p2≥1p1+8p2≥2
2.2 Построение многогранника
Выразим p2 из ограничений
6p1+3p2=3p1+3p2=1p1+8p2=2 p2=1-2p1; 1p2=1-p13; 2p2=2-p18; 3
Построим таблицу 2.2 в интервале от 0 до 2,4 с шагом 0,2
Таблица 2.2- Значения p2 для ограничений
p1 p2_(1) p2_(2) p2_(3)
-0,5 2 0,5 0,3125
0 1 0,333333333 0,25
0,2 0,6 0,266666667 0,225
0,4 0,2 0,2 0,2
0,6 -0,2 0,133333333 0,175
0,8 -0,6 0,066666667 0,15
1 -1 0 0,125
1,2 -1,4 -0,066666667 0,1
1,4 -1,8 -0,133333333 0,075
1,6 -2,2 -0,2 0,05
1,8 -2,6 -0,266666667 0,025
2 -3 -0,333333333 0
2,2 -3,4 -0,4 -0,025
2,4 -3,8 -0,466666667 -0,05
Построим график.
Рисунок 2.1 – График области допустимых значений
Для определения вершин многогранника решаем систему уравнений.
Заметим, что все прямые пересекаются в одной точке. Точка B является пресечением плоскостей:
6p1+3p2=3p1+3p2=1
Вычтем из первого уравнения второе и найдем p1:
6p1+3p2-p1+3p2=3-1
5p1=2
p1=25=0,4
Так как p1=0,4, то p2=1-2p1=1-2∙0,4=1-0,8=0,2.
Точка Bp1=0,4; p2=0,2 вершина многогранника.
Вершинами этого многогранника будут точки c координатами:
A0; 1
B0,4; 0,2
C2; 0
2.3 Нахождение коэффициента K
Так как среди этих точек находится минимальное значение линейной функции цели, то для нахождения решения двойственной задачи достаточно сравнить между собой значения функции цели в этих точках:
Kp1+5p2→min
Fak=K∙0+5∙1=5
Fbk=K∙0,4+5∙0,2=0,4K+1
Fck=K∙2+5∙0=2K
Точкам пересечения прямых Fa и Fb, Fa и Fc, Fb и Fc соответствуют следующие значения K: 10; 2,5; 0,625.
Строим таблицу 2.3.
Таблица 2.3 - Значение функций прямых Fa, Fb и Fc.
K f(A) f(B) f(C)
-0,5 5 0,8 -1
0 5 1 0
0,5 5 1,2 1
1 5 1,4 2
1,5 5 1,6 3
2 5 1,8 4
2,5 5 2 5
3 5 2,2 6
3,5 5 2,4 7
4 5 2,6 8
4,5 5 2,8 9
5 5 3 10
5,5 5 3,2 11
6 5 3,4 12
6,5 5 3,6 13
7 5 3,8 14
7,5 5 4 15
8 5 4,2 16
8,5 5 4,4 17
9 5 4,6 18
9,5 5 4,8 19
10 5 5 20
10,5 5 5,2 21
11 5 5,4 22
По таблице 2.3 строим график.
Рисунок 2.2 – График функций Fa, Fb и Fc.
В силу теоремы о паре двойственных задач, получившаяся функция, изображенная на диаграмме в виде ломанной, является искомой производственной функцией для данной задачи
. Функция кусочно-линейна и может быть задана аналитически так:
fk=2K; 0≤K≤0,6250,4K+1; 0,625≤K≤10 0∙K+5; 10≤K≤+∞
Так как функция непрерывна, то она дифференцируема во всех точках кроме:
K1=0,625;
K2=2,5;
K3=10.
2.4 Точки излома
K1=0,625. Здесь целевая функция двойственной задачи принимает одно и тоже значение, как в точке B так и в точке C следовательно, на всей прямой, проходящей через эти точки. Так как это значение меньше, чем в точке А, то оптимальное значение двойственной задачи составляет целый отрезок СB.
K2=2,5. Для точки K2 целевая функция двойственной задачи принимает одно и тоже значение, как в точке A, так и в точке C
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
