Расчет статически неопределимой рамы методом сил

Построим раму согласно исходных данных (рис.2). Установим степень статической неопределимости по формуле:
n = н – у,
Рис.2 Расчетная схема
где у – число уравнений статики, к = 3;
н – число неизвестных реакций в опорах, н = 5.
n = 5 – 3 = 2.
Система канонических уравнений будет содержать два уравнения.
δ11 * Х1 + δ12 * Х2 + Δ1F = 0.
δ21 * Х1 + δ22 * Х2 + Δ2F = 0.
где Δ1F = Δ1q + Δ1P + Δ1m;
Δ2F = Δ2q + Δ2P + Δ2m.
2. Построим для выбранной основной системы эпюры изгибающих моментов от каждой внешней нагрузки и от единичных сил отдельно.
Эпюры от единичных сил представлены на рис.3.
Рис.3 Эпюры от единичных сил Х1 и Х2
Построим эпюры от действия сосредоточенной силы Р (рис.4).
Участок 1 – 1 ( 0 ≤ х ≤ 3м):
при х = 0, М1 = Р * x = 0;
при х = 3м, М2 = Р * x = 16 * 3 = 48кН*м.
Участок 2 – 2 ( 0 ≤ х ≤ 6м):
при х = 0, М1 = m = 48кН*м;
при х = 6м, М2 = m = 48кН*м.
Рис.4 Эпюры от сосредоточенной силы Р.
Построим эпюры от действия распределенной нагрузки q (рис.5).
Участок 1 – 1 ( 0 ≤ х ≤ 3м):
при х = 0, М1 = - q * x2 / 2 = 0;
при х = 3м, М2 = - q * x2 / 2 = - 8 * 32 / 2 = - 36кН*м.
Участок 2 – 2 ( 0 ≤ х ≤ 3м):
при х = 0, М1 = H * x - m = - 108кН*м;
при х = 6м, М2 = H * x - m = 24 * 3 – 108 = - 36кН*м.
Рис.5 Эпюры от распределенной нагрузки q.
Построим эпюры от действия сосредоточенного момента m (рис.6).
Рис.6 Эпюры от сосредоточенного момента m.
3. Определим коэффициенты канонического уравнения, пользуясь методом Верещагина.
Определение коэффициента δ11 (рис.7).
δ11 = 1EJ*(Ω1*MC1 + Ω2*MC2 ) = (1/2*6*6*2/3*6*1+ 6*6*6) / EJ = 288/EJ.
Рис.7 Определение коэффициента δ11
Определение коэффициента δ22 (рис.8).
δ22 = 1EJ* Ω1*MC1 = ½ * 6 * 6 * ⅔ * 6 * 1 / EJ = 72/EJ.
Рис.8 Определение коэффициента δ22
Определение коэффициента δ12 = δ21 (рис.9).
δ12=δ21= 1EJ* Ω1*MC1 = - 6 * 6 * ½ * 6 /EJ = - 108/EJ.
Рис.9 Определение коэффициента δ12 и δ21
Определение коэффициента Δ1Р (рис.10).
Δ1Р = 1EJ* Ω1*MС1 = 48 * 6 * 6 / EJ = 1728/EJ .
Рис.10 Определение коэффициента Δ1Р
Определение коэффициента Δ2Р (рис.11).
Δ2Р = 1EJ* Ω1*MС1 = - 48 * 6 * 1* 3 / EJ = - 864/EJ.
Рис. 11 Определение коэффициента Δ2Р
Определение коэффициента Δ1q (рис.12)
Δ1q = 1EJ*(Ω1*MC1+Ω2*MC2+ Ω3*MC3) = - (1/3*36*3*6+36*3*6+1/2*3*72*6)/EJ= - 1512/EJ.
Рис. 12 Определение коэффициента Δ1q
Определение коэффициента Δ2q (рис.13)
Δ2q = 1EJ*(Ω1*MC1+Ω2*MC2+Ω3*MC3) = (1/3*36*3*3/4*3 + 36*3*4,5 + 1/2*3*72*(3+2/3*3)) / EJ = 1107/EJ.
Рис. 13 Определение коэффициента Δ2q
Определение коэффициента Δ1m (рис.14).
Δ1m = 1EJ*(Ω1*MC1 + Ω2*MC2 ) = (28*3*4,5+ 28*6*6) / EJ = 1386/EJ.
Рис.14 Определение коэффициента Δ1m
Определение коэффициента Δ2m (рис.15).
Δ2m = 1EJ* Ω1*MС1 = - 28 * 6 * 1* 3 / EJ = - 504/EJ.
Рис.15 Определение коэффициента Δ2m
Δ1F = 1728/EJ - 1512/EJ + 1386/EJ = 1602/ EJ.
Δ2F = - 864/EJ + 1107/EJ - 504/EJ = - 261/EJ.
Подставляем коэффициенты в каноническое уравнение и сокращаем на ЕJ.
288 * Х1 - 108 * Х2 + 1602 = 0;
- 108 * Х1 + 72 * Х2 - 261 = 0.
Решим уравнение методом Гаусса и получим:
Х1 = - 9,61кН, Х2 = - 10,78кН.
4. Подставим полученное усилие в статически неопределимую балку, определим изгибающий моментs от данных сил (рис.16).
Рис.16 Эпюры изгибающих моментов от найденных сил Х1 и Х2.
5. Подставим значения в статически неопределимую раму (рис.17). Определим реакции и изгибающий момент в заделке.
Рис