Расчёт электрической цепи переменного тока комплексным методом

Определим показания измерительных приборов.Вычислим сопротивления реактивных элементов схемы:ХС1 = 1/ωС1 = 1/(314·212·10-6) = 15 Ом ХС2 = 1/ωС2 = 1/(314·212·10-6) = 15 Ом ХL3 = ωL3 = 314·47.8·10-3 = 15 Ом ХL1 = ωL = 314·47.8·10-3 = 15 Ом
Определим комплексные сопротивления ветвей схемы в алгебраической и показательной формах:Z1 = R1 - jХС1 = R12+XC12 · ejarctg(R1/Xc1) =
= 5 - j15 = 52+152 · ejarctg(5/(-15)) = 15.81е –j71.6º =15.81е j288.4º
Z2 = R2 - jХС2 = R22+XC22 · ejarctg(R2/Xc2) =
= 20 - j15 = 202+152 · ejarctg(20/(-15)) = 25е –j36.9º =25е j323.1º
Z3 = R3 + jХL3 = R32+XC32 · ejarctg(R3/Xc3) =
= 5 + j15 = 52+152 · ejarctg(5/15) = 15.81е j71.6º
Комплекс тока в первой ветви İ1 = 1,41/√2 е j0º = 1·е j0º = 1 А
Определим комплексное входное сопротивления.
Zвх = Z1 +(Z2 Z3)/(Z2 +Z3) = 5 - j15 + (25е –j36.9º·15.81е j71.6º)/( 20 - j15 +5 + j15)
= 18 – j6 А= 19е j341.6º А
По закону Ома находим напряжение на зажимах цепи:Ů = İ1 Zвх = 1·19е j341.6º = 19е j341.6º В = 18 - j6 В
Определим комплексное значение падения напряжения на элементах первой ветви:Ů1 = İ1 Z1 = 1·15.81е j288.4º = 15.81е j288.4º В = 5 - j15 В
Напряжение на элементах второй и третьей ветви, включенных параллельно: Ů2 = Ů3 = Ů - Ů1 = (18 - j6) – (5 - j15) = 13 + j9 В = 15.81е j34,7º В
Токи во второй и третьей ветвях:
İ2 = Ů2/Z2 =15.81е j34,7º/25е –j36.9º = 0,632е j71,6º А = 0,2 + j0,6 А
İ3 = Ů3/Z3 =15.81е j34,7º/15.81е j71.6º = 1е –j36,9º А = 0,8 - j0,6 А
Проверяем выполнение 1 закона Кирхгофа для узла а
İ1 = İ2 + İ3 = İ3 = (0,2 + j0,6) + (0,8 - j0,6) = 1 А
Проверка выполняется.
Показания амперметров, измеряющих действующее значение тока будут следующими:
İ1 = 1 А; İ2 = 0,632 А: İ3 = 1 А
Вольтметр покажет U = 19 В
Ваттметр измеряет активную мощность, потребляемую цепью.
Полная мощность цепи будет равна ,
S = Ů İ1* = 19е j341.6º ·1е j0º =19е j341.6º =18 - j6 ВА; Р = Re (S) = 18 Вт
Ваттметр покажет 18 Вт
Запишем мгновенные значения всех токов и приложенного напряжения;i1 = 1,41sin 314t А;i2 = 0,632·sin(ωt+ ψ2) = 0,894 sin (314t+71,6º) А;i3 =1·sin(ωt+ ψ3) = 1,41 sin (314t – 36,9º) А;u = Um3sin(ωt+ ψ) = 19·sin (314t+ ψ2) = 26,8 sin (314t+341,6º) А.
Проверим баланс активных и реактивных мощностей;Баланс активной мощности определим по формуле:UI1cos φ = I12R1 + I22R2 + I32R3;19·1· cos 341,6º = 19·1·0,9489 = 18 Вт 19·1·0,9489 = 12·5 + 0,6322·20 + 12·5 = 18 Вт18Вт = 18 ВтПри расчёте баланса реактивных мощностей индуктивные сопротивления берут со знаком «+», так как они потребляют реактивную мощность, а емкостные сопротивления со знаком «-», так как они генерируют реактивную мощность UI1 sin φ = -I12ХС1 - I22 ХС2 + I32 ХL3;UI1 sin φ = 19*1·sin 341,6º = 19·1· (-0,3156) = -6 Вар-I12ХС1 - I22 ХС2 + I32 ХL3= -12 ·15 – 0,6322·15 + 12·15 = -6 Вар-6 ВАр = -6 ВАр Баланс активных и реактивных мощностей выполняется.
Построение векторной диаграммы токов и напряжений.За базовый вектор, относительно которого строится векторная диаграмма принимаем вектор тока İ1, который строим горизонтально.Направление вектора совпадает с действительной осью координатВектор тока İ2 строим под углом 71,6º по отношению к току İ1,в сторону опережения (против часовой стрелки), его активная и реактивная составляющие буду равны соответственно 0,2 и 0,6