Схема Исходные данные 2 Математическая модель составленная по законам Кирхгофа

Исходная схема приведена рис 1.2.
Рис. 1.2
Комплексы сопротивлений элементов имеют значения:
Z1=-j10 Ом, Z2=30 Ом, Z3=j40 Ом, Z4=-j50 Ом, Z5=60 Ом
Комплекс действующего значения ЭДС:
E=Em2ejψ=180e-j180°2=-127,279 В
2. Математическая модель, составленная по законам Кирхгофа, для мгновенных значений токов и напряжений.
Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров (рис. 1.2). Цепь содержит пять ветвей и три узла. Система уравнений для токов и напряжений включает 5 уравнений, два из которых составлены по первому и три по второму законам Кирхгофа:
i1+i2-i3=0i3-i4-i5=01C1i1dt-i2R2=0i2R2+L3di3dt+1C4i4dt=e-1C4i4dt+i5R5=0
Напряжения на конденсаторах:
uC1=1C1i1dt
uC4=1C4i4dt
3. Математическая модель установившегося синусоидального процесса, составленная по законам Кирхгофа.
I1+I2-I3=0I3-I4-I5=0I1-jXC1-I2R2=0I2R2+I3jXL3+I4-jXC4=E-I4-jXC4+I5R5=0
4. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований.
С помощью метода эквивалентных преобразований находим эквивалентное (входное) сопротивление цепи.
Z12=Z1∙Z2Z1+Z2=10e-j90°∙30-j10+30=300e-j90°31,623e-j18,435°=9,487e-j71,565°=3-j9 Ом
Z45=Z4∙Z5Z4+Z5=50e-j90°∙60-j50+60=3000e-j90°78,102e-j39,806°=38,411e-j50,194°=24,59-j29,508 Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.3.
Рис. 1.3.
Zвх=Z12345=Z12+Z3+Z45=3-j9+j40+24,59-j29,508=27,59+j1,492=27,63ej3,095° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.4.
Рис. 1.4.
По закону Ома:
I3=EZвх=-127,27927,63ej3,095°=4,606ej176,905°=-4,6+j0,249 А
Дальнейший расчет проводится также по закону Ома:
U3=I3∙Z3=4,606ej176,905°∙40ej90°=184,259e-j93,095°=-9,948-j183,99 В
U1=U2=I3∙Z12=4,606ej176,905°∙9,487e-j71,565°=43,701ej105,34°=-11,561+j42,144 В
I1=U1Z1=43,701ej105,34°10e-j90°=4,37e-j164,66°=-4,214-j1,156 А
I2=U2Z2=43,701ej105,34°30=1,457ej105,34°=-0,385+j1,405 А
U4=U5=I3∙Z45=4,606ej176,905°∙38,411e-j50,194°=176,94ej126,711°=-105,77+j141,847 В
I4=U4Z4=176,94ej126,711°50e-j90°=3,539e-j143,289°=-2,837-j2,115 А
I5=U5Z5=176,94ej126,711°60=2,949ej126,711°=-1,084+j2,364 А
5 . Таблица расчетных данных.
Таблица 3
Арифмети-ческая
Показа-тельная Тригоно-метрическая Мгновенные значения
I1, А
-4,214-j1,156
4,37e-j164,66°
4,37cos-164,66°+j4,37sin-164,66°
6,18sinωt-164,66°
I2, А
-0,385+j1,405
1,457ej105,34°
1,457cos105,34°+j1,457sin105,34°
2,06sinωt+105,34°
I3, А
-4,6+j0,249
4,606ej176,905°
4,606cos176,905°+j4,606sin176,905°
6,515sinωt+176,905°
I4, А
-2,837-j2,115
3,539e-j143,289°
3,539cos-143,289°+j3,539sin-143,289°
5,005sinωt-143,289°
I5, А
-1,084+j2,364
2,949ej126,711°
2,949cos126,711°+j2,949sin126,711°
4,171sinωt+126,711°
U1, В
-11,561+j42,144
43,701ej105,34°
43,701cos105,34°+j43,701sin105,34°
61,802sinωt+105,34°
U2, В
-11,561+j42,144
43,701ej105,34°
43,701cos105,34°+j43,701sin105,34°
61,802sinωt+105,34°
U3, В
-9,948-j183,99
184,259e-j93,095°
184,259cos-93,095°+j184,259sin-93,095°
260,582sinωt-93,095°
U4, В
-105,77+j141,847
176,94ej126,711°
176,94cos126,711°+j176,94sin126,711°
250,231sinωt+126,711°
U5, В
-105,77+j141,847
176,94ej126,711°
176,94cos126,711°+j176,94sin126,711°
250,231sinωt+126,711°
6.Проверка баланса мощностей.
Сопряженный комплекс тока ветви, в которую включен источник:
I*ист=I*3=-4,6-j0,249=4,606e-j176,905° А
Определяем полную мощность источника:
Sист=E∙I*ист=Pист+jQист=127,279e-j180°∙4,606e-j176,905°=586,309ej3,095°=585,454+j31,656 ВА
Определяем полную мощность приемников цепи:
k=15ZkIk2=Pпр+jQпр=-j10∙4,372+30∙1,4572+j40∙4,6062-j50∙3,5392+60∙2,9492=585,454+j31,656 ВА
Проводим оценку баланса по формулам:
δP=Pист-PпрPист∙100%=585,454-585,454585,454∙100%=0%
δQ=Qист-QпрQист∙100%=31,656-31,65631,656∙100%=0%
Вычисления выполнены без погрешности.
7