Прямая l задана в пространстве общими уравнениями

154305209551) Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей с нормалями n1={1; 5;2} и n2 ={2;- 5; -1} . Тогда направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение нормалей:
a=n1× n2=ijk1522-5-1=i52-5-1-j122-1+k152-5=
=i-5+10-j-1-4+k-5-10=5i+5j-15k=5;5;-15
Осталось найти точку, через которую проходит прямая. Положим, например, z = 0 и найдем x y, из системы:
x+5y-5=0, 2x-5y+5=0;=>x+5y=5, 2x-5y=-5;x+5y=5, 3x=0;=>=>x=0, y=1;
Получили точку M (0;1;0) . Тогда канонические уравнения прямой имеют вид:
x-05=y-15=z-0-15.
x5=y-15=z-15
Параметрическое уравнения прямой имеют вид:
x=5ty=5t+1z=-15t.
219075495302) Очевидно, направляющим вектором прямой x5=y5=z-15
 является вектор с координатами 5;5;-15 . Этот же вектор является направляющим вектором прямой l1, уравнение которой мы составляем. По условию эта прямая проходит через точку M2;0;-3, следовательно, ее канонические уравнения имеют вид 
x-25=y-05=z--3-15=>x-25=y5=z+3-15
154305215903) Вычислим координаты вектораM1M2 :
1524016383000
M1M2=2-0;0-1;-3-0= =
=2;-1;-3
Вычислим векторное произведение векторов M1M2  и n1
M1M2×n1 =ijk2-1-355-15=i-1-35-15-j2-35-15+k2-155=
=30i+15j+15k=30;15;15
Далее находим площадь параллелограмма:
S=302+152+152=156
Далее расстояние:
d=Sn1=15652+52+-152=156275=156511=31166
219075215904)Чтобы найти проекцию точки М на прямую l нужно:
Найти плоскость α, проходящей через точку М перпендикулярный прямой l
5x-2+5y-0-15z--3=0,
5x+5y-15z-55=0
Находим точку пересечения прямой l и плоскости α
x=5ty=5tz=-15t(1)
Подставим значения x, y, z из выражения уравнения в уравнение плоскости и решим относительно t
5∙5t+55t+1-15-15t-55=0,
25t+25t+225t-50=0,
t=211
Подставляя значение t в выражения (1), получим координаты точки M:
M1011;11011-2811.
2095501708155)Находим точку пересечения прямой l x=5ty=5t+1z=-15t
и плоскости Р7x+y-4z-5=0.
Подставим значения x, y, z из выражения уравнения в уравнение плоскости и решим относительно t
7∙5t+5t+1-4-15t-5=0=>120
Тогдаx=5∙120y=5∙120+1z=-15∙120=>x=14y=54z=-34=>М14;54;-34
АНАЛИТИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА