Провести полное исследование функции и построить график

1) ОДЗ:
x-2≠0; x≠2⇒x∈-∞;2∪2;+∞
3) Четность, нечетность.
y-x= -8x-2x2-x-22=-8x+2x2x+22≠-yx=-8x-2x2x-22yx=8x-2x2x-22
следовательно, функция ни четная, ни нечетная.
3) Точки пересечения с осями координат
y0=8∙0-2∙020-22=0
8x-2x2x-22=2x4-xx-22⟹x=0;x=4;
Точки пересечения: 0;0;4;0.
4) Интервалы возрастания и убывания, точки экстремумов и экстремумы (исследование по первой производной)
Первая производная
y'= 8x-2x2x-22'=8-4xx-22-2x-2∙8x-2x2x-24=
=8-4xx-2-2∙8x-2x2x-23=-16x-23
Критическая точка: x=2.
x<2⇒y'>0-функция возрастает
+
–
2
y'
x>2⇒y'<0-функция убывает
Экстремумов нет.
5) Интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба (исследование по второй производной)
Вторая производная:
y''=8x-2x2x-22''= -16x-23'=48x-24
–
+
1/2
y''
Вторая производная не существует в точке: x=2 .
2
y''
x<2⇒y''>0-функция вогнута
+
+
x>2⇒y''>0-функция вогнута
Точек перегиба нет.
6) Асимптоты функции
Точка x=2
limx→2-08x-2x2x-22=+∞; limx→2+08x-2x2x-22=+∞.
Следовательно, в точке x=2 – разрыв второго рода, бесконечный разрыв.
x=2-вертикальная асимптота.
Наклонные асимптоты: y=kx+b
k=limx→±∞yxx=limx→±∞8x-2x2xx-22=limx→±∞x28/x-2x31-2/x2=limx→±∞8/x-2x1-2/x2=0
b=limx→±∞fx-kx=limx→±∞8x-2x2x-22-0∙x=limx→±∞x28/x-2x21-2/x2=-2
Горизонтальная асимптота: y=-2.
7) Дополнительные точки:
y1= 8∙1-2∙121-22=6; y3= 8∙3-2∙323-22=6; y-2= 8∙-2-2∙-22-2-22=-1,5