Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона.
Для разумного планирования и организации работы ремонтных мастерских сельскохозяйственной техники оказалось необходимым изучить длительность ремонтных операций, производимых мастерскими. Получены результаты (сгруппированные по интервалам) соответствующего статистического обследования (фиксированы длительности операций в 100 случаях):
Требуется:
1) построить гистограмму частостей;
2) найти числовые характеристики выборки
3) по виду гистограммы и значениям числовых характеристик выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X – длительности ремонтных операций, оценить параметры теоретического закона и записать его вид;
4) проверить основную гипотезу о законе распределения Х по критерию Пирсона (уровень значимости выбрать самостоятельно);
5) проверить две альтернативные гипотезы о законе распределения Х по критерию Пирсона.
Решение
1) Для построения гистограммы строим вспомогательную таблицу:
Расчетная таблица для построения гистограммы частостей
i Разряды
ni xi - середина интервала
1 [0;3) 7 0,07 0,023 1,5
2 [3;6) 8 0,08 0,027 4,5
3 [6;9) 9 0,09 0,030 7,5
4 [9;12) 25 0,25 0,083 10,5
5 [12;15) 20 0,20 0,067 13,5
6 [15;18) 15 0,15 0,050 16,5
7 [18;21) 10 0,10 0,033 19,5
8 [21;24) 6 0,06 0,020 22,5
Сумма - 100 1,00 - -
По данным таблицы строим гистограмму частостей ωi
Гистограмма частостей
2) Находим числовые характеристики выборки:
Для удобства этого и дальнейших расчетов составим вспомогательную таблицу:
1,5 0,07 0,105 8,07 -86,72 931,4
4,5 0,08 0,36 4,79 -37,09 287,1
7,5 0,09 0,675 2,02 -9,58 45,4
10,5 0,25 2,625 0,76 -1,32 2,3
13,5 0,20 2,7 0,32 0,40 0,5
16,5 0,15 2,475 2,72 11,60 49,4
19,5 0,10 1,95 5,27 38,27 277,8
22,5 0,06 1,35 6,32 64,80 664,9
Сумма 1 12,24 30,27 -19,65 2258,8
Дисперсия
Исправленная дисперсия .
Соответствующее среднее квадратическое отклонение: 5,53 .
Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса равны:
3) Близость к нулю полученного значения коэффициента асимметрии говорит в пользу нормального закона распределения генеральной совокупности. Об этом также свидетельствует вид гистограммы. Выдвигаем основную гипотезу о нормальном законе распределения.
Запишем плотность нормального распределения где параметры m и определяем, используя метод моментов: 12,24, 5,53.
Таким образом, можно сформулировать нулевую гипотезу: случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 12,24, и средним квадратическим отклонением 5,53.
4. Алгоритм применения критерия Пирсона
Шаг 1. Определить меру расхождения эмпирических и теоретических частот:
Шаг 2. Для выбранного уровня значимости α по таблице критических точек распределения Пирсона найти критическое значение при числе степеней свободы , где m – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.
Шаг 3
. Нулевая гипотеза принимается, если , и отвергается в случае .
Найдем значения теоретических частот .
Для определения теоретических частот нормального распределения составим таблицу, в которую занесем такие графы: интервалы, частоты , значения значения функции Лапласа Ф(х) в этих значениях и , т.е и , которые находим по таблицам значений функции Лапласа; затем в графе рi вычисляем вероятность
рi =
попадания в интервал ; в графе nрi находим произведение 100·рi , т.е. искомые теоретические частоты . Концы первого и последнего интервалов принимаются бесконечными. В последнем столбце вычислим критерий :
I αi-1 αi рi
1 - ∞ 3 7 - ∞ -1,67 -0,5 -0,4525 0,0475 4,7 1,071
2 3 6 8 -1,67 -1,13 -0,4525 -0,3708 0,0818 8,2 0,004
3 6 9 9 -1,13 -0,59 -0,3708 -0,2224 0,1484 14,8 2,296
4 9 12 25 -0,59 -0,04 -0,2224 -0,0160 0,2065 20,6 0,919
5 12 15 20 -0,04 0,5 -0,0160 0,1915 0,2074 20,7 0,027
6 15 18 15 0,5 1,04 0,1915 0,3508 0,1594 15,9 0,055
7 18 21 10 1,04 1,58 0,3508 0,4429 0,0921 9,2 0,067
8 21 + ∞ 6 1,58 + ∞ 0,4429 0,5 0,0571 5,7 0,015
100
1 100 4,45
4,45.
Вычисляем количество степеней свободы: k = m – Sн –1 , где Sн =2 – число параметров нормального распределения.
m = 8 – число интервалов
k = 8 – 2 – 1 = 5 – число степеней свободы.
По таблице критических точек распределения χ2 при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 5 находим критическое значение χ2кр = 11,07.
Получаем: χ2 < χ2кр, следовательно гипотеза о нормальном распределении принимается
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
