Проверим гипотезу о нормальном законе с помощью критерия Колмогорова. Построим график гипотетической F0x функции распределения в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения F*x. В качестве опорный точек для графика F0x используем 10 значений F0Aj из таблицы.
По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями F*x и F0x
Z=maxF*xi-F0xi=0,11
Вычислим значение критерия Колмогорова
λ=n∙Z=100∙0,11=1,1
Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости α=0,05 выбираем критическое значение λγ=λ1-α=λ0.95=1,36.
Так как λ=1,1≤λ0,95=1,36, то гиотезу H0 о нормальном законе распределения отвергать нет основания.
По выборке двумерной случайной величины:
(4,22; 10,38) (5,07; 6,53) (3,94; 6,01) (1,45; 5,23) (3,27; 7,57)
(2,30; 5,59) (3,81; 5,75) (7,06; 8,24) (7,60; 9,02) (4,64; 10,28)
(7,95; 9,75) (4,52; 8,47) (1,83; 5,29) (0,52; 4,96) (6,19; 11,40)
(2,83; 7,77) (4,11; 5,91) (3,37; 6,82) (4,85; 7,50) (2,12; 2,63)
(0,78; 4,37) (5,90; 5,74) (8,60; 9,22) (1,66; 4,31) (3,63; 8,46)
(2,48; 4,21) (4,86; 11,72) (3,64; 4,06) (7,22; 8,80) (3,28; 3,84)
(2,85; 3,01) (2,57; 5,35) (6,82; 8,78) (3,83; 8,10) (0,51; 1,86)
(6,42; 5,23) (3,79; 7,17) (4,27; 6,48) (3,45; 5,05) (3,28; 6,04)
(1,66; 5,20) (3,96; 7,50) (6,36; 6,98) (3,72; 7,26) (6,92; 8,16)
(2,50; 2,13) (4,51; 5,19) (0,69; 6,09) (5,13; 8,56) (3,47; 6,41)
вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ=0,95);
проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;
вычислить оценку параметров a0 и a1 линии регрессии yx=a0+a1x;
построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
Решение
Для удобства решения задачи составим таблицу. Значения в 3, 4 и 5-м столбцах вычисляются по формулам, приведенными в головке таблицы. В последней строке таблицы приведены средние арифметические значений каждого столбца.
i
x
y
x2
y2
x∙y
1 2 3 4 5 6
1 4,22 10,38 17,8084 107,7444 43,8036
2 5,07 6,53 25,7049 42,6409 33,1071
3 3,94 6,01 15,5236 36,1201 23,6794
4 1,45 5,23 2,1025 27,3529 7,5835
5 3,27 7,57 10,6929 57,3049 24,7539
6 2,3 5,59 5,29 31,2481 12,857
7 3,81 5,75 14,5161 33,0625 21,9075
8 7,06 8,24 49,8436 67,8976 58,1744
9 7,6 9,02 57,76 81,3604 68,552
10 4,64 10,28 21,5296 105,6784 47,6992
11 7,95 9,75 63,2025 95,0625 77,5125
12 4,52 8,47 20,4304 71,7409 38,2844
13 1,83 5,29 3,3489 27,9841 9,6807
14 0,52 4,96 0,2704 24,6016 2,5792
15 6,19 11,4 38,3161 129,96 70,566
16 2,83 7,77 8,0089 60,3729 21,9891
17 4,11 5,91 16,8921 34,9281 24,2901
18 3,37 6,82 11,3569 46,5124 22,9834
19 4,85 7,5 23,5225 56,25 36,375
20 2,12 2,63 4,4944 6,9169 5,5756
21 0,78 4,37 0,6084 19,0969 3,4086
22 5,9 5,74 34,81 32,9476 33,866
23 8,6 9,22 73,96 85,0084 79,292
24 1,66 4,31 2,7556 18,5761 7,1546
25 3,63 8,46 13,1769 71,5716 30,7098
26 2,48 4,21 6,1504 17,7241 10,4408
27 4,86 11,72 23,6196 137,3584 56,9592
28 3,64 4,06 13,2496 16,4836 14,7784
29 7,22 8,8 52,1284 77,44 63,536
30 3,28 3,84 10,7584 14,7456 12,5952
31 2,85 3,01 8,1225 9,0601 8,5785
32 2,57 5,35 6,6049 28,6225 13,7495
33 6,82 8,78 46,5124 77,0884 59,8796
34 3,83 8,1 14,6689 65,61 31,023
35 0,51 1,86 0,2601 3,4596 0,9486
36 6,42 5,23 41,2164 27,3529 33,5766
37 3,79 7,17 14,3641 51,4089 27,1743
38 4,27 6,48 18,2329 41,9904 27,6696
39 3,45 5,05 11,9025 25,5025 17,4225
40 3,28 6,04 10,7584 36,4816 19,8112
41 1,66 5,2 2,7556 27,04 8,632
42 3,96 7,5 15,6816 56,25 29,7
43 6,36 6,98 40,4496 48,7204 44,3928
44 3,72 7,26 13,8384 52,7076 27,0072
45 6,92 8,16 47,8864 66,5856 56,4672
46 2,5 2,13 6,25 4,5369 5,325
47 4,51 5,19 20,3401 26,9361 23,4069
48 0,69 6,09 0,4761 37,0881 4,2021
49 5,13 8,56 26,3169 73,2736 43,9128
50 3,47 6,41 12,0409 41,0881 22,2427
Средние 4,0082 6,6076 20,010214 48,729904 29,396326
Таким образом получены:
оценки математических ожиданий по каждой переменной
mX*=x=1ni=1nxi=4,0082
mY*=y=1ni=1nyi=6,6076
оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной
α2*x=1ni=1nxi2=20,010214
α2*y=1ni=1nyi2=48,729904
оценка смешанного начального момента второго порядка
α1,1*x, y=1ni=1nxiyi=29,396326
На основании этих данных вычислим оценки дисперсий
D*x=S02x=1n-1i=1nxi2-nn-1x2=nn-1 α2*x-nn-1x2=5049 ∙20,010214-5049 ∙4,00822=4,025048
D*y=S02y=1n-1i=1nyi2-nn-1y2=nn-1 α2*y-nn-1y2=5049 ∙48,729904-5049 ∙6,60762=5,172986
и оценку корреляционного момента
KXY*=1n-1i=1nxiyi-nn-1x∙y=nn-1α1,1*x,y-nn-1x∙y=5049 ∙29,396326-5049 ∙4,0082∙6,6076=2,971167
Вычислим точечную оценку коэффициента корреляции по формуле
RXY*=KXY*S02x∙S02y=2,9711674,025048∙5,172986=0,651135
Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью γ=0,95
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
