Проанализировать зависимость между энерговооруженностью Х на 10 предприятиях (кВт) и производительностью труда Y (руб.)
Задачи:
1) Определить вид зависимости y от x.
2) По МНК оценить уравнение регрессии y на x.
3) Оценить силу линейной зависимости между x и y.
4) Оценить значимость параметров регрессии b и a.
5) Найти интервальные оценки для коэффициента линейного уравнения регрессии.
6) Найти интервальные прогнозы по линейному уравнению регрессии.
7) Проверить значимость коэффициента корреляции.
Исходные данные
n x y
1 6,70 2,80
2 6,90 2,20
3 7,20 3,00
4 7,30 3,50
5 8,40 3,20
6 8,80 3,70
7 9,10 4,00
8 9,80 4,80
9 10,60 6,00
10 10,70 5,40
Решение
Построим поле корреляции результата и фактора и сформулируем гипотезу о форме связи.
Рис.1. Поле корреляции
На рис.1 представлен пример поля корреляции. По расположению точек на корреляционном поле полагаем, что зависимость между Энерговооруженность X и Производительность труда Y линейная и прямая. Следовательно, с увеличением числа совместно проживающих членов семьи увеличивается годовое потребление электроэнергии и можно предположить, что форма связи имеет вид
.
Рассчитаем по МНК параметры линейной парной регрессии от :
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
6,7 2,8 18,76 44,89 7,84 2,4642 0,3358 0,1128 0,1199
6,9 2,2 15,18 47,61 4,84 2,6151 -0,4151 0,1723 0,1887
7,2 3 21,6 51,84 9 2,8414 0,1586 0,0251 0,0529
7,3 3,5 25,55 53,29 12,25 2,9169 0,5831 0,3400 0,1666
8,4 3,2 26,88 70,56 10,24 3,7468 -0,5468 0,2990 0,1709
8,8 3,7 32,56 77,44 13,69 4,0486 -0,3486 0,1215 0,0942
9,1 4 36,4 82,81 16 4,2750 -0,2750 0,0756 0,0687
9,8 4,8 47,04 96,04 23,04 4,8031 -0,0031 0,0000 0,0006
10,6 6 63,6 112,36 36 5,4067 0,5933 0,3520 0,0989
10,7 5,4 57,78 114,49 29,16 5,4822 -0,0822 0,0068 0,0152
Итого 85,5 38,6 345,35 751,33 162,06 38,6 0,00 1,51 0,98
Средние значения 8,55 3,86 34,535 75,133 16,206 3,86
1,425 1,143
2,031 1,306
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Можно вычислить по формулам:
;
.
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемэнерговооруженность на 1 кВт производительность труда возрастает в среднем на 0,75 руб
. (или 75 коп.).
После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7-10таблицы 1.
Выполним оценку тесноту связи между переменными с помощью коэффициента корреляции:
Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :
Для нашей задачи r = 0,941, что подтверждает вывод, сделанный ранее, что связь между признаками прямая, а также указывает на весьма высокую взаимосвязь между энерговооруженность и производительностью труда
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
