Приведены данные о стоимости акций некоторой инвестиционной компании

Исследование статистических данных начнѐм с группировки, т.е. с разбиения всех наблюденных значений непрерывной случайной величины Х из табл. А на s=7 интервалов длиной:
∆x=xmax-xmins=20-10,87≈1,4
За начало первого интервала примем: x1=xmin-∆x2=10,8-1,42=10,1, а конец последнего: x7=xmax=201.
В результате получим интервальный ряд :
Интервал xi;xi+1
Частота mi
Относительная частота ωi=min
ωi∆x
xс*=xi-1+xi2
10,1 – 11,5 6 0,12 0,86 10,8
11,5 – 12,9 6 0,12 0,86 12,2
12,9 – 14,3 3 0,06 0,43 13,6
14,3 – 15,7 16 0,32 2,29 15
15,7 – 17,1 8 0,16 1,14 16,4
17,1 – 18,5 6 0,12 0,86 17,8
18,5 – 20 5 0,1 0,71 19,25
∑ 50 1
2. Для того, чтобы составить предварительное представление о характере распределения значений случайной величины Х, построим гистограмму и полигон относительных частот.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Тогда эмпирическая функция распределения имеет вид:
Fnx=0 при x≤10,10,12 при 10,1<x≤11,50,24 при 11,5<x≤12,90,3 при 12,9<x≤14,30,62 при 14,3<x≤15,70,78 при 15,7<x≤17,10,9 при 17,1<x≤18,51 при x>18,5
Построим эмпирическую функцию распределения
4. Для нахождения выборочной средней X, выборочной дисперсии D(X), выборочного среднего квадратического отклонения σ(X) (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.
i
xс*
mi
xс*mi
xс*-X2
xс*-X2mi
1 10,8 6 64,8 18,15 108,89
2 12,2 6 73,2 8,18 49,08
3 13,6 3 40,8 2,13 6,39
4 15 16 240 0,00 0,06
5 16,4 8 131,2 1,80 14,36
6 17,8 6 106,8 7,51 45,05
7 19,25 5 96,25 17,56 87,78
∑
50 753,05
311,61
Находим среднее арифметическое выборки:
X=1ni=17xс*mi=753,0550=15,06
Находим выборочную дисперсию:
D(X)=1ni=17xс*-X2mi=311,6150=6,23
Найдем среднее квадратическое отклонение
σ(X)=DX=6,23≈2,5
Для вычисления коэффициента ассиметрии и эксцесса составим расчетную таблицу
i
xi*
mi
xс*-X3mi
xс*-X4mi
1 10,8 6 -463,85 1976,01
2 12,2 6 -140,36 401,44
3 13,6 3 -9,34 13,63
4 15 16 -0,003 0,0002
5 16,4 8 19,25 25,79
6 17,8 6 123,42 338,18
7 19,25 5 367,80 1541,08
∑
50 -103,08 4296,14
Выборочный центральный момент 3-го порядка вычислим по формуле:
μ3*=1ni=17xс*-X3mi=-103,0850=-2,06
Находим выборочный коэффициент ассиметрии:
η=μ3*σ3=-2,062,53≈-0,132
Так как η<0 свидетельствует о левосторонней ассиметрии .
Выборочный центральный момент 4-го порядка вычислим по формуле:
μ4*=1ni=17xс*-X3mi=4296,1450≈85,92
Находим выборочный коэффициент эксцесса:
ε=μ4*σ4-3=85,922,54-3≈-0,8
Поскольку ε<0, то распределение более плосковершинное, чем нормальное.
Выборочный коэффициент вариации
υ=σ(X)X∙100%=2,515,06∙100%≈16,6%
Поскольку V*≤30%, то совокупность однородная, а вариация слабая.
5. Полученный коэффициент вариации 0,166 попадает в диапазон 0,08;0,40.
Для предварительного выбора закона распределения используют коэффициенты асимметрии, эксцесс и их средние квадратичные отклонения:
Еη=S (n-1)n+1(n+3)=7∙(50-1)50+1(50+3)≈0,36
Еε=4Snn-2(n-3)(n-1)n+3(n+5)=4∙7∙50∙50-2(50-3)(50-1)50+3(50+5)≈4,7
А так же для нормального закона распределения должны выполняться неравенства: η<3Еη и ε<3Еε
В нашем случае: -0,132<3∙0,36=1,08 и -0,8<3∙4,7=14,1.
Неравенства выполняются.
На основании полученных результатов можно предположить, что случайная величина X распределена по нормальному закону с плотностью вероятности:
fx=12,52π∙e-(x-15,06)22∙2,52
Тогда интегральную функцию распределения можно записать в
Fx=12+Фx-15,062,5
Здесь Х=15,06 - точечная оценка параметра а, а σ(Х)=2,5 - параметра σ.
6. Для строгой проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины X применим критерий χ2Пирсона