Принятие решений с использованием теории игр (матричные игры в смешенных стратегиях)
Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.
Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции.
Затраты на единицу продукции,
произведенной на предприятиях региона (д.е.).
Технология Цена реализации единицы продукции, д.е. Полная себестоимость единицы продукции, д.е.
Предприятие 1 Предприятие 2
I 10 5 8
II 8 3,4 6
III 6 3,6 2,8
IV 4 2 2
V 2 0,9 1,6
В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:
Y=8-0,8∙X
где Y – количество продукции, которое приобретёт население региона (тыс. ед.),
X – средняя цена продукции предприятий, д.е..
Значения Долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены.
Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию
Цена реализации 1 ед. продукции, д.е. Доля продукции предприятия 1, купленной населением
Предприятие 1 Предприятие 2
10 10 0,81
10 8 0,33
10 6 0,25
10 4 0,2
10 2 0,18
8 10 0,4
8 8 0,35
8 6 0,32
8 4 0,28
8 2 0,25
6 10 0,52
6 8 0,48
6 6 0,4
6 4 0,35
6 2 0,18
4 10 0,6
4 8 0,58
4 6 0,85
4 4 0,5
4 2 0,4
2 10 0,9
2 8 0,85
2 6 0,7
2 4 0,65
2 2 0,4
Определить:
1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями?
2. Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?
3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое предприятие окажется в выигрышном положении?
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
y=0,0698; P=0;0;0; 0,17;0,83; Q=0;0; 0,014; 0,986; 0
Решение
Одной из главных задач каждого предприятия является максимизация прибыли от реализации продукции. Но в данном случае более важной проблемой является конкурентная борьба. В конкурентном конфликте выигрыш будет определяться не размером прибыли каждого предприятия, а разностью их прибылей. При таком подходе конфликт можно рассматривать как матричную игру двух игроков с нулевой суммой, т.к. выигрыш одного предприятия равен проигрышу другого.
Формализуем конфликтную ситуацию – составим платежную матрицу. Для этого определим стратегии каждого игрока:
A1– предприятие 1 выбирает технологию 1;
A2 – предприятие 1 выбирает технологию 2;
A3 – предприятие 1 выбирает технологию 3;
A4 – предприятие 1 выбирает технологию 4;
A5 – предприятие 1 выбирает технологию 5;
B1 – предприятие 2 выбирает технологию 1;
B2 – предприятие 2 выбирает технологию 2;
B3 – предприятие 2 выбирает технологию 3;
B4 – предприятие 2 выбирает технологию 4;
B5 – предприятие 2 выбирает технологию 5.
Будем использовать следующую формулу для расчета элементов платежной матрицы:
aij=8-0,4∙p1+p2∙1000∙d∙p1-s1-1-d∙p2-s2
где p1 – стоимость реализации единицы продукции предприятием A при выборе им стратегии Ai;
p2– стоимость реализации единицы продукции предприятием B при выборе им стратегии Bj;
s1 – себестоимость единицы продукции предприятия A при выборе им стратегии Ai;
s2 – себестоимость единицы продукции предприятия B при выборе им стратегии Bj;
d – доля продукции предприятия A, купленной населением при ценах p1 и p2.
Проведя все расчеты, получаем платежную матрицу (в тыс
. ед.):
B1
B2
B3
B4
B5
A1
0 0,248 -1,84 -1,44 1,8304
A2
0,512 0,496 -1,6896 -0,4864 3,4
A3
0,4608 0,2688 -3,072 -3,68 0,4992
A4
0,96 1,024 4,88 0 3,136
A5
2,528 2,54 -0,912 0,084 1,28
1. Проверим наличие ситуации равновесия – седловой точки. Для это найдем нижнюю и верхнюю цены игры.
В каждой строчке определим минимальный элемент и запишем его в новом столбце, а из найденных минимальных выберем максимальный: a=0 – нижняя цена игры. В каждом столбце найдем максимальный элемент и запишем их в новой строке и из них выберем минимальный b=0,084 – верхняя цена игры.
B1
B2
B3
B4
B5
Мин.
A1
0 0,248 -1,84 -1,44 1,8304 -1,84
A2
0,512 0,496 -1,6896 -0,4864 3,4 -1,6896
A3
0,4608 0,2688 -3,072 -3,68 0,4992 -3,072
A4
0,96 1,024 4,88 0 3,136 0
A5
2,528 2,54 -0,912 0,084 1,28 -0,912
Макс. 2,528 2,54 4,88 0,084 3,4
Так как a≠b, то в данной ситуации отсутствует точка равновесия или седловая точка. Тогда цена игры находится в пределах 0≤y≤0,084.
Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-ая стратегия 1-го игрока доминирует его -ю стратегию, если aij≥akj для всех j∋N и хотя бы для одного j aij>akj
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
