При промывке 25 кубометров песка драгой было намыто золота (в миллиграммах):
Требуется: 1) найти выборочную среднюю; 2) составить интервальное распределение выборки с шагом h=50, взяв за начало первого интервала x0=325;3) построить полигон и гистограмму частот; 4) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α=0,05 гипотезу о том, что случайная величина μ - количественный признак генеральной совокупности – имеет нормальное распределение; 5) найти с надёжностью γ=0,59 доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака генеральной совокупности.
Решение
Объём выборки n=25, найдём выборочную среднюю по следующей формуле:
x=1nxi
Тогда:
x=125*331+346+362+385+404+411+419+429+435+437+441+445+458+468+469+477+481+491+507+518+536+542+543+544+544=1142325=456,92
2) Составим интервальное распределение с шагом h=50, взяв за начало первого интервала x0=325. Границы интервалов разбиения определим по формулам:
a0=x0, ak=ak-1+h
a0=325; a1=375; a2=425; a3=475; a4=525; a5=575
Тогда интервальное статистическое распределение выглядит так (Таблица 3):
Таблица 3 – Интервальное статистическое распределение.
x [325;375) [375;425) [425;475) [475;525) [525;575)
nk
3 4 8 5 5
3) Построим полигон и гистограмму частот (Рисунок 4):
Рисунок 4 – Полигон и гистограмма частот.
4) Составим вспомогательную таблицу для подсчета вероятностей попадания вариант выборки в интервалы разбиения:
pk=F0αk-F0αk-1=Фuk-Фuk-1
uk=ak-xσ, Ф(uk)=12π0uke-x22dx
Таблица 4 – Вспомогательная таблица для подсчета вероятностей.
Границы интервалов uk=ak-xσ
Ф(uk)
pk
a0=325
-2,4 -0,4918 0,0599
a1=375
-1,49 -0,4319 0,2128
a2=425
-0,58 -0,2191 0,3484
a3=475
0,33 0,1293 0,2632
a4=525
1,24 0,3925 0,0917
a5=575
2,15 0,4842
Теперь вычисляем наблюдаемое значение критерия:
Xнабл2=k=15nk-npk2npk
Таблица 5 – Расчёт наблюдаемого значения критерия.
Границы интервалов Эмпирические частоты
nk
Вероятности
pk
Теоретические частоты npk
Отклонения
nk-npk
nk-npk2npk
[325;375) 3 0,0599 1,5 1,5 1,5
[375;425) 4 0,2128 5,32 -1,32 0,328
[425;475) 8 0,3484 8,71 -0,71 0,058
[475;525) 5 0,2632 6,58 -1,58 0,379
[525;575) 5 0,0917 2,29 2,71 3,207
Тогда наблюдаемое значение критерия равно:
Xнабл2=k=15nk-npk2npk=1,5+0,328+0,058+0,379+3,207=5,472
Определим число степеней свободы:
s=l-r-1=5-1-1=3
Тогда по таблице находим, что:
Xкр2=7,82
Так как:
Xнабл2=5,472<Xкр2=7,82
, то нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу, то есть количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение.
5) Для построения доверительного интервала воспользуемся формулой:
x-∆≤Mμ≤x+∆
∆=t1+γ2*σn
Найдём значение квантили t:
Фt1+γ2=γ2→t1+γ2=Ф-1γ2
Фt1+γ2=0,592=0,295→t1+γ2=0,82
Тогда:
∆=t1+γ2*σn=0,82*5525=0,82*11=9,02
Значит, искомый доверительный интервал выглядит так:
456,92-9,02≤Mμ≤456,92+9,02
447,9≤Mμ≤465,94
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
