Предприятие может выпустить три вида продукции: П1, П2, П3. Для выпуска продукции требуются ресурсы трех видов: трудовые, станочное оборудование и полуфабрикаты. Определить, в каком количестве и какого вида продукции надо выпустить, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Объемы и нормы расхода ресурсов приведены в таблице.
Наименование ресурса Вид продукции Объем ресурса
П1 П2 П3
Расход ресурса на единицу продукции
Трудовые ресурсы, человеко-час 6 2 4 12
Станочное оборудование, станко-смена 5 5 1 28
Полуфабрикаты, кг 7 7 4 30
Прибыль с единицы продукции, руб. 16 12 18 max
Выпуск, шт. х1 х2 х3
Решение
Пусть необходимо выпускать продукции П1 – х1, продукции П2 – х2, продукции П3 – х3, тогда ограничения
по трудовым ресурсам:6x1+2x2+4x3≤12,по станочному оборудованию:5x1+5x2+x3≤28,
по полуфабрикатам:7x1+7x2+4x3≤30,
по неотрицательности переменных:
х1>0,
х2>0.
Прибыль определяется как F(X) = 16x1+12x2+18x3, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
F(X) = 16x1+12x2+18x3 → max
6x1+2x2+4x3≤12,5x1+5x2+x3≤28,7x1+7x2+4x3≤30,
х1>0,
х2>0.
Для построения опорного плана 1 систему неравенств приводим к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переходим к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) введем неотрицательную базисную переменную x4, во 2-м неравенстве смысла (≤) введем неотрицательную базисную переменную x5, в 3-м неравенстве смысла (≤) введем неотрицательную базисную переменную x6.
6x1+2x2+4x3+x4 = 12
5x1+5x2+x3+x5 = 28
7x1+7x2+4x3+x6 = 30
Матрица коэффициентов A = a(ij) системы уравнений принимает вид:
A = 6 2 4 1 0 0
5 5 1 0 1 0
7 7 4 0 0 1
Решаем систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим опорный план 1: X0 = (0,0,0,12,28,30)
БП B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 12 6 2 4 1 0 0
x5 28 5 5 1 0 1 0
x6 30 7 7 4 0 0 1
∆ 0 -16 -12 -18 0 0 0
Переходим к симплекс-преобразованиям.
Ключевой столбец выбираем по наименьшему отрицательному элементу индексной строки.
Ключевую строку выбираем по наименьшему отношению частного от деления: bi / aij.
Ключевой элемент находится на пересечении ключевого столбца и ключевой строки.
Все вычисления сводим в симплекс-таблицы.
Переход от одной симплекс-таблицы к другой проводим по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, расположенные в вершинах прямоугольника и всегда включающие ключевой элемент КЭ.
НЭ = СтЭ - (А∙В)/КЭ
СтЭ – элемент старого плана,
КЭ – ключевой элемент,
А и В – элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СтЭ и КЭ.
БП B x1 x2 x3↓ x4 x5 x6 min
←x4 12 6 2 4 1 0 0 3
x5 28 5 5 1 0 1 0 28
x6 30 7 7 4 0 0 1 15/2
∆ 0 -16 -12 -18 0 0 0
БП B x1 x2↓ x3 x4 x5 x6 min
x3 3 3/2 1/2 1 1/4 0 0 6
x5 25 7/2 9/2 0 -1/4 1 0 50/9
←x6 18 1 5 0 -1 0 1 18/5
∆ 54 11 -3 0 9/2 0 0
БП B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 6/5 7/5 0 1 7/20 0 -1/10
x5 44/5 13/5 0 0 13/20 1 -9/10
x2 18/5 1/5 1 0 -1/5 0 1/5
∆ 324/5 58/5 0 0 39/10 0 3/5
Т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
