Предприятие выпускает два вида изделий: А и В. Месячные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие, ограничены:
1) объёмами запасов сырья, хранящихся на складских помещениях (P1);
2) станочным парком и трудовыми ресурсами (P2);
3) расходами электроэнергии на технологические цели (Р3).
Нормы расхода сырья, времени работы парка оборудования и затрат на электроэнергию, которые необходимы для производства 1 условной единицы каждого вида изделия, размеры запасов и прибыль от реализации продукции в ден. ед. за 1 единицу приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Ресурсы Нормы расхода ресурсов на 1 у.е. продукции Запасы ресурсов
A B
P1 11,45 22,9 229
P2 29 29 435
P3 87 145 2175
Прибыль (ден.ед./у.е.) 80 50
Требуется:
составить такой план выпуска продукции видов А и В (математическую модель планирования производства), при котором суммарная прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной, дать необходимые комментарии к её элементам;
изобразить графически, используя средства Excel, множество допустимых планов для задачи, записанной в стандартном виде;
найти условный экстремум функции, используя необходимые и достаточные условия экстремума;
организовать решение задачи линейного программирования с помощью надстройки Excel «Поиск решения»;
найти графическим методом оптимальный план выпуска продукции;
перейти от задачи максимизации целевой функции к задаче минимизации;
7) записать задачу линейного программирования в каноническом виде.
Ответ
Оптимальный план изделий: 15 у.ед. изделий вида А и 0 у.е. изделий вида В. Максимальная прибыль предприятия 1200 ден.ед.
Переход от задачи максимизации ЦФ к задаче минимизации
Z(x) = 80x1 + 50x2 → max
11,45x1+22,9x2≤229 29x1+29x2≤435 87x1+145x2≤2175
x1≥0, x2≥0
Задача максимизации целевой функции Z легко может быть сведена к задаче минимизации функции Z* при тех же ограничениях путем введения функции:
Z*x=-Z(x)
-Zx=- 80x1- 50x2 → min
11,45x1+22,9x2≤229 29x1+29x2≤435 87x1+145x2≤2175
x1≥0, x2≥0
Обе задачи имеют одно и тоже решение x* и при этом max Z(x)= -min Z*x
Решение
Построение математической модели планирования производства
I этап построения модели заключается в определении (описании, задании, идентификации) переменных [3]. Поскольку нужно найти максимальную прибыль от реализации продукции двух видов изделия, зададим переменные (неизвестные) решения следующим образом:
x1 – выпуск продукции вида А, у.е
x2 – выпуск продукции вида B, у.е
II этап построения модели заключается в построении целевой функции, представляющей цель решения задачи. Наша цель – это максимизация прибыли, получаемой от реализации продукции. Следовательно, суммарная прибыль (целевая функция) составляет
Z(x) = 80x1 + 50x2 → max ден.еду.е*у.е=ден.ед.
III этап построения модели заключается в задании ограничений, моделирующих условия задачи. Ограничения
по объёмам запасов сырья, хранящихся на складских помещениях (P1)
11,45x1+22,9x2≤229
станочным парком и трудовыми ресурсами (P2)
29x1+29x2≤435
по расходам электроэнергии на технологические цели (Р3)
87x1+145x2≤2175
Таким образом, получаем математическую модель задачи:
Z(x) = 80x1 + 50x2 → max
11,45x1+22,9x2≤22929x1+29x2≤43587x1+145x2≤2175
x1≥0, x2≥0
1.3. Множество допустимых планов для задачи
Z(x) = 80x1 + 50x2 → max
11,45x1+22,9x2≤22929x1+29x2≤43587x1+145x2≤2175
x1≥0, x2≥0
Множество решений неравенства, то есть множество пар (x1, x2), компоненты которых удовлетворяют неравенству, геометрически представляет собой полуплоскость [1,3]. Для того чтобы определить граничную прямую этой полуплоскости, следует заменить знак неравенства знаком равенства:
10,8x1+21,6x2=216
16x1+16x2=240
48x1+80x2=1200
Множеством решений системы неравенств в целом является пересечение всех полуплоскостей, соответствующих отдельным неравенствам системы
. Это пересечение и определяет множество допустимых планов. Это множество часто называют также областью допустимых планов (сокращенно ОДП). Оно представляет собой выпуклую многоугольную область.
Выполним построение в Excel. Как известно, прямую можно построить по 2 точкам. Организуем расчет переменной x2 в соответствии с точкой x1 (таблица 1.2.).
Таблица 1.2
11,45x1+22,9x2=229
x1 x2
0 =(229-11,45*G4)/22,9
20 =(229-11,45*G5)/22,9
29x1+29x2=435
x1 x2
0 =(435-29*G8)/29
20 =(435-29*G9)/29
87x1+145x2=2175
x1 x2
0 =(2175-87*G12)/145
30 =(2175-87*G13)/145
В результате вычислений получим следующие точки для построения прямых (рис.1.1).
Рис.1.1. Построение прямых в MS Excel по 2 точкам
Теперь поочередно добавляем прямые на график и выделяем ОДП–выпуклый многоугольник АВСD (рис.1.2). Наносим вектор градиент grad Z, который составлен из коэффициентов целевой функции через точки (0;0) и (80;50).
Рис.1.2. Множество допустимых планов
Экстремальные значения целевой функции достигаются в угловых точках ОДР, принадлежащих опорным прямым к ОДР, т.е. крайним линиям уровня целевой функции по отношению к ОДР.
1.4. Условный экстремум функции
Z(x) = 80x1 + 50x2 → max
11,45x1+22,9x2≤22929x1+29x2≤43587x1+145x2≤2175
x1≥0, x2≥0
Составим обобщенную функцию Лагранжа [2]:
Lx,λ0,λ=λ080x1 + 50x2+λ111,45x1+22,96x2-229+λ2(29x1+29x2-435)+λ3(87x1+145x2-2175)
Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:
а) ∂Lx,λ0,λ∂x1=80λ0+11,45λ1+29λ2+87λ3=0
∂Lx,λ0,λ∂x2=50λ0+22,96λ1+29λ2+145λ3=0
б) 11,45x1+22,96x2≤229, 29x1+29x2≤435, 87x1+145x2≤2175
в) λ1,λ2,λ3≥0 (для минимума), λ1,λ2,λ3≤0 (для максимума)
г) λ111,45x1+22,96x2-229=0
λ229x1+29x2-435=0
λ387x1+145x2-2175=0
Решим систему при λ0=1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
