Постройте график, вывод о наличии тенденции. На графике получите различные тренды (линейный, параболу второго порядка, степенной, показательный)

1. Построим график временного ряда:
Судя по графику, в ряду присутствует выраженный временной восходящий тренд, по форме напоминающий линейный. Сезонность отсутствует.
Построим тренды различной формы для данного ряда:
Во встроенном инструменте «Тренд» показательный тренд представлен в экспоненциальной форме.
Наиболее высокое значение показателя детерминации имеет полиномиальный тренд (парабола второго порядка): R2=0,993. Уравнение тренда имеет вид:
y = - 33,64t2 + 1913,56t + 2774,58
2. С помощью Пакета анализа построим линейный тренд:
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,99
R-квадрат 0,98
Нормированный R-квадрат 0,98
Стандартная ошибка 872,60
Наблюдения 16,00
Дисперсионный анализ
  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 612063951,22 612063951,22 803,84 0,00
Остаток 14,00 10659959,24 761425,66
Итого 15,00 622723910,46      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 4490,12 457,59 9,81 0,00 3508,68 5471,56
t 1341,71 47,32 28,35 0,00 1240,21 1443,21
a. Уравнение тренда имеет вид:
y = 4490,12 + 1341,71t
Предположим, что время t измеряется в годах. Тогда интерпретация коэффициента регрессии следующая: в среднем ежегодно значение признака y возрастает на 1341,71 ед. изм.
b. Коэффициент детерминации равен 0,98, модель описывает 98% вариации зависимого признака.
Величина «Значимость F», соответствующая значимости модели в целом по критерию Фишера, равна 0,00 (меньше уровня значимости 0,05). Следовательно, модель в целом значима на уровне значимости 0,05.
Величина «P-Значение», соответствующая значимости отдельных параметров по критерию Стьюдента, меньше 0,05 (уровня значимости) для всех параметров модели, следовательно, все коэффициенты значимы на уровне значимости 0,05.
Таким образом, качество модели по данным критериям приемлемо.
c. 95%-й доверительный интервал для коэффициента регрессии равен (1240,21; 1443,21). Следовательно, при увеличении числа наблюдений с вероятностью 95% ежегодный прирост признака y составляет не более 1443,21 и не менее 1240,21 ед. изм. Доверительный интервал не содержит нуля, что подтверждает значимость коэффициента регрессии.
d. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
A=1nyi-yiyi=1nеiyi
Предварительно рассчитаем оценки модели yi и остатки модели ei.
t yt
ytоценка
еt
|et|/yt
1 5057,90 5831,83 -773,93 0,15
2 6199,50 7173,54 -974,04 0,16
3 8062,40 8515,25 -452,85 0,06
4 10335,30 9856,96 478,34 0,05
5 10737,40 11198,67 -461,27 0,04
6 12688,00 12540,39 147,61 0,01
7 14432,00 13882,10 549,90 0,04
8 16062,50 15223,81 838,69 0,05
9 18089,90 16565,52 1524,38 0,08
10 19447,20 17907,23 1539,97 0,08
11 19293,30 19248,94 44,36 0,00
12 20583,50 20590,65 -7,15 0,00
13 21220,90 21932,36 -711,46 0,03
14 22926,40 23274,07 -347,67 0,02
15 24673,60 24615,78 57,82 0,00
16 24504,80 25957,49 -1452,69 0,06
Сумма       0,83
A=116∙0,83∙100%=5,21%
Средняя ошибка аппроксимации составила 5,21%. Средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%, точность модели высокая.
f. Оценим автокорреляцию в остатках и ее существенность с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
DW=2n(e(t)-e(t-1))21n(e(t))2
t yt
ytоценка
еt
|et|/yt
et^2 (et-et-1)^2
1 5057,90 5831,83 -773,93 0,15 598969,01  
2 6199,50 7173,54 -974,04 0,16 948757,36 40044,37
3 8062,40 8515,25 -452,85 0,06 205075,52 271638,10
4 10335,30 9856,96 478,34 0,05 228805,78 867113,17
5 10737,40 11198,67 -461,27 0,04 212774,08 882868,61
6 12688,00 12540,39 147,61 0,01 21790,10 370745,96
7 14432,00 13882,10 549,90 0,04 302394,22 161836,53
8 16062,50 15223,81 838,69 0,05 703405,85 83399,15
9 18089,90 16565,52 1524,38 0,08 2323740,66 470169,57
10 19447,20 17907,23 1539,97 0,08 2371511,22 243,02
11 19293,30 19248,94 44,36 0,00 1967,84 2236851,91
12 20583,50 20590,65 -7,15 0,00 51,13 2653,37
13 21220,90 21932,36 -711,46 0,03 506177,42 496053,82
14 22926,40 23274,07 -347,67 0,02 120876,06 132342,52
15 24673,60 24615,78 57,82 0,00 3342,78 164421,42
16 24504,80 25957,49 -1452,69 0,06 2110320,20 2281643,13
Сумма       0,83 10659959,24 8462024,65
DW=8462024,6510659959,24=0,79
Нижнее критическое значение критерия Дарбина-Уотсона dн при уровне значимости 0,05, одном факторе и 16 наблюдениях равно 1,10. Расчетное значение меньше нижнего критического, следовательно, на уровне значимости 0,05 принимается гипотеза о положительной автокорреляции остатков модели.
g. Построим точечный и интервальный прогноз на основе линейной модели (период упреждения =2).
Для построения точечного прогноза подставим в модель регрессии значения t=17, 18.
y(t0=17)= 4490,12 + 1341,71∙17=27299,21
y(t0=18)= 4490,12 + 1341,71∙18=28640,92
Ожидаемое значение признака y в следующем году составляет 27299,21 ед . езм., через два года – 28640,92 ед. изм.
Оценим доверительный интервал прогноза для доверительной вероятности 0,95:
γY=yt0±ΔY,
ΔY=tкрит⋅SY
SY=S1+1n+(t0-t)2(ti-t)2
S=e2n-2=872,60
tкрит=2,14 для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 16-2.
Доверительный интервал прогноза:
Прогноз
t0 y(t0) S tкрит
SY ΔY Нижняя граница Верхняя граница
17 27299,21 872,60 2,14 985,30 2113,26 25185,94 29412,47
18 28640,92 872,60 2,14 1005,55 2156,69 26484,23 30797,60
С вероятностью 95% ожидаемое значение признака y в следующем году лежит в границах (25185,94; 29412,47) ед. изм. С вероятностью 95% ожидаемое значение признака y через два года лежит в границах (26484,23; 30797,60) ед. изм.
3. С помощью Пакета анализа построим степенной тренд и оценим его качество:
y=b⋅ta
Модель сводится к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения и преобразования исходных данных о значениях факторного и результативного признаков:
lny=lnb+alnt
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,99
R-квадрат 0,98
Нормированный R-квадрат 0,98
Стандартная ошибка 0,06
Наблюдения 16,00
Дисперсионный анализ
  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 1,00 3,60 3,60 910,47 0,00
Остаток 14,00 0,06 0,00
Итого 15,00 3,66      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 8,38 0,04 197,33 0,00 8,29 8,47
lnt
0,62 0,02 30,17 0,00 0,58 0,67
a. Уравнение тренда в линейной форме имеет вид:
lny =8,38 + 0,62lnt
Для получения степенной формы модели потенцируем свободный член:
b=e8,38=4374,95
Уравнение тренда в степенной форме:
y=4374,95⋅t0,62
Формальная интерпретация коэффициента регрессии следующая: при увеличении параметра t на 1% значение признака y возрастает на 0,62% (эластичность признака y равна 0,62).
b. Коэффициент детерминации равен 0,98, модель описывает 98% вариации зависимого признака.
Величина «Значимость F», соответствующая значимости модели в целом по критерию Фишера, равна 0,00 (меньше уровня значимости 0,05). Следовательно, модель в целом значима на уровне значимости 0,05.
Величина «P-Значение», соответствующая значимости отдельных параметров по критерию Стьюдента, меньше 0,05 (уровня значимости) для всех параметров модели, следовательно, все коэффициенты значимы на уровне значимости 0,05.
Таким образом, качество модели по данным критериям приемлемо.
c. 95%-й доверительный интервал для коэффициента регрессии равен (0,58; 0,67). Следовательно, при увеличении числа наблюдений с вероятностью 95% эластичность признака y по фактору времени составляет не более 0,58 и не менее 0,67. Доверительный интервал не содержит нуля, что подтверждает значимость коэффициента регрессии.
d. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации. Предварительно рассчитаем оценки модели yi и остатки модели ei.
t yt
lnt
lny
ytоценка
еt
|et|/yt
et^2 (et-et-1)^2
1 5057,90 0,00 8,53 4374,95 682,95 0,14 466421,10  
2 6199,50 0,69 8,73 6729,35 -529,85 0,09 280741,40 1470885,41
3 8062,40 1,10 8,99 8656,88 -594,48 0,07 353401,12 4176,41
4 10335,30 1,39 9,24 10350,78 -15,48 0,00 239,73 335232,00
5 10737,40 1,61 9,28 11889,78 -1152,38 0,11 1327978,03 1292532,57
6 12688,00 1,79 9,45 13315,62 -627,62 0,05 393901,24 275377,02
7 14432,00 1,95 9,58 14653,75 -221,75 0,02 49171,09 164730,43
8 16062,50 2,08 9,68 15921,11 141,39 0,01 19991,68 131868,83
9 18089,90 2,20 9,80 17129,68 960,22 0,05 922020,32 670477,58
10 19447,20 2,30 9,88 18288,32 1158,88 0,06 1342997,41 39465,30
11 19293,30 2,40 9,87 19403,81 -110,51 0,01 12212,70 1611347,71
12 20583,50 2,48 9,93 20481,48 102,02 0,00 10408,22 45169,74
13 21220,90 2,56 9,96 21525,62 -304,72 0,01 92851,28 165433,97
14 22926,40 2,64 10,04 22539,73 386,67 0,02 149513,22 478012,49
15 24673,60 2,71 10,11 23526,75 1146,85 0,05 1315269,65 577877,69
16 24504,80 2,77 10,11 24489,13 15,67 0,00 245,53 1279573,94
Сумма           0,68 6737363,71 8542161,10
A=116∙0,68∙100%=4,24%
Средняя ошибка аппроксимации составила 4,24%. Средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%, точность модели высокая.
e. Оценим автокорреляцию в остатках и ее существенность с помощью критерия Дарбина-Уотсона:
DW=8542161,106737363,71=1,27
Нижнее критическое значение критерия Дарбина-Уотсона dн при уровне значимости 0,05, одном факторе и 16 наблюдениях равно 1,10; верхнее критическое значение dв равно 1,37