Известны статистические данные по 36 строительным бригадам

1. Рассчитать параметры множественной линейной регрессии, проводя процедуру стандартного регрессионного исследования до получения удовлетворительной модели. Провести полный анализ полученного уравнения регрессионной связи.
На первом этапе включим в модель все факторы. В качестве программного средства реализации анализа воспользуемся пакетом прикладных программ Microsoft Excel, функцией «Анализ данных», инструмент «Регрессия». Применение инструмента «Регрессия»
(Анализ данных EXCEL)
Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнить следующие действия:
Выбрать команду «Сервис»→ «Анализ данных».
В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать инструмент «Регрессия», а затем щёлкнуть по кнопке ОК.
В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал » ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле «Входной интервал Х» ввести адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных.
Если введены и заголовки столбцов, то следует установить флажок «Метки в первой строке».
Выбрать параметры вывода. В данном случае «Новая рабочая книга».
ОК.
Результаты представлены в таблице 1.
Таблица 1
Без проверки значимости коэффициентов а и b уравнение регрессии было бы записано в следующем виде:
у = 7611,728 + 252,109х1 + 949,357х2 + 0,372х3.
Однако необходимо проверить, все ли из включенных в уравнение параметров действительно оказывают влияние на у.
К числу рассчитываемых и анализируемых параметров относятся:
а) коэффициенты регрессии (и их значимость):
Значимость коэффициентов регрессии оценим с помощью критерия Стьюдента.
Расчетные значения критерия Стьюдента следующие: t1=6,726; и t3=1,558. Табличное значение критерия при уровне значимости и числе степеней свободы равно 2,037.
Таким образом, признается статистическая значимость параметров ,т.к. tb1=6,726>tтабл=2,04 .
Таким образом, признается статистическая не значимость параметра и ,т.к. и tb2=0,831<tтабл=2,04 и tb3=1,558<tтабл=2,04.
В результате выполнения регрессионного анализа в пакете Excel получены оценки а и b и их Р – значения:
Коэффициенты Р-значение
а 7611,728 0,00
b1 252,109 0,00
b2 949,357 0,41
b3 0,372 0,13
Для коэффициента b1 вероятность его не влияния на у равна 0,00 (0%), что меньше порогового значения в 5%, поэтому коэффициент b1 признается значимым и оставляется в модели.
Для коэффициента а вероятность его не влияния на у равна 0,00 (40%), что меньше порогового значения в 5%, поэтому коэффициент а признается значимым и должен присутствовать в модели. Для коэффициента b2 вероятность его не влияния на у равна 0,41 (41%), что больше порогового значения в 5%, поэтому коэффициент признается незначимым и должен быть удален из модели . Для коэффициента b3 вероятность его не влияния на у равна 0,13 (13%), что больше порогового значения в 5%, поэтому коэффициент признается незначимым и должен быть удален из модели.
В первую очередь из модели будет исключена переменная х2 и х3 поскольку вероятность их не влияния на у, определяемая соответствующим коэффициентам b2 и b3 выше, чем для константы а. После этого процедура регрессионного анализа проводится заново, для чего в опции Сервис - Анализ данных - Регрессия в строке «Входной интервал Х» задается уже не 3 столбца данных, а один - соответствующий переменным х1.
Определение значимости коэффициента корреляции
б) коэффициент корреляции (и его значимость);
Множественный коэффициент корреляции R, равный 0,987, свидетельствует о тесной связи между признаками.
При выполнении регрессионного анализа в пакете Excel вероятность выполнения нулевой гипотезы для коэффициента корреляции выводится как “Значимость F”.
Если Значимость F меньше 0,05, то количество наблюдений считается достаточным для признания полученных результатов регрессионного анализа достоверными. Если Значимость F меньше 0,05, то коэффициент корреляции незначим, и количество наблюдений необходимо увеличить.
В результате выполнения регрессионного анализа в пакете Excel получено значение R и Значимости F:
Множественный R0,987
Значимость F0,00
Вероятность незначимости (недостоверности) коэффициента корреляции достаточно мала: 0% (по сравнению с пороговым значением 5%), значит, количество наблюдений достаточно.
Определение коэффициента детерминации
Коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом:
Значения TSS, RSS и ESS выдаются в качестве результатов выполнения регрессионного анализа в Excel в таблице «Дисперсионный анализ»
Дисперсионный анализ
SS
Регрессия 42508711325 RSS (объясн)
Остаток 1102446150 ESS (остат)
Итого 43611157475 TSS (общая)
Коэффициент детерминации можно рассчитать также как квадрат коэффициента корреляции. При выполнении регрессионного анализа в Excel коэффициент детерминации выводится в таблице «Вывод итогов» как величина R-квадрат.
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,987279599
R-квадрат 0,974721007
Нормированный R-квадрат 0,972351101
Стандартная ошибка 5869,535091
R2 = RSS / TSS =42508711325 / 43611157475= 0,987
г) стандартные ошибки коэффициентов регрессии:
д) доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:
Определение доверительных интервалов для и
Коэффициенты Нижние 95% Верхние 95%
а 7611,728 1581,04513642,412
b1 252,109 175,758328,461
b2 949,357 –1377,131 3275,846
b2 0,372 – 0,1140,859
Значит, 1581,045< < 13642,412; 175,758< 1 < 328,461; –1377,131< 2 < 3275,846 и –0,114< 3 < 0,859.
е) величины общей, объясненной и остаточной дисперсии.
Таблица дисперсионного анализа для простой линейной регрессии
Источник дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы
Регрессия 42508711325
Отклонение от регрессии 1102446150
Полная дисперсия 43611157475
Нормированный коэффициент детерминации
При выполнении регрессионного анализа в Excel коэффициент детерминации и стандартная ошибка уравнения регрессии выводятся в таблице «Вывод итогов» как величины R-квадрат и Стандартная ошибка.
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,987279599
R-квадрат 0,974721007
Нормированный R-квадрат 0,972351101
Стандартная ошибка 5869,535091
На втором этапе включим в модель только значимые факторы