Постройте график функции. Определите, является ли функция унимодальной (если не является унимодальной, выделите отрезок, на котором она унимодальна).
2. Найдите оптимальное значение функции (таблица 1) методом равномерного поиска и методом деления отрезка пополам. Определите погрешности найденных решений. Сравните погрешности между собой. Сделайте вывод.
Рис. 1 График функции на отрезке [-2;2]
Функция унимодальна на отрезке [0;2].
Метод равномерного поиска является простейшим из прямых методов минимизации и состоит в следующем. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками деления: xi = a + i(b - a)/n, где i = 0,...n.
Вычислив значения f(x) в точках xi, путем сравнения найдем точку xm, где m - это число от 0 до n, такую, что f(xm) = min f(xi) для всех i от 0 до n.
Погрешность определения точки минимума xm функции f(x) методом равномерного поиска не превосходит величины h = (b - a)/n, которая называется шагом оптимизации.
Словесный алгоритм метода:
1) Находим значение функции в точке a: f(a);
2) Находим следующую точку отрезка: xi = a + ih;
3) Находим значение функции в этой точке: f(xi);
4) Сравниваем значения функций в последней и предыдущей точке: f(xi-1) > f(xi);
5) Если условие выполняется, то переходим к шагу 2), если нет, то xi = xmin и f(xmin) = min.
Зададимся погрешностью h = 0,01
Вычисляем по приведенному выше алгоритму
x f(x) x f(x) x f(x)
0 1,00 0,21 0,799 дальше 0,42 0,654 дальше
0,01 0,99 дальше 0,22 0,791 дальше 0,43 0,650 дальше
0,02 0,98 дальше 0,23 0,782 дальше 0,44 0,645 дальше
0,03 0,97 дальше 0,24 0,774 дальше 0,45 0,641 дальше
0,04 0,96 дальше 0,25 0,766 дальше 0,46 0,637 дальше
0,05 0,95 дальше 0,26 0,758 дальше 0,47 0,634 дальше
0,06 0,94 дальше 0,27 0,750 дальше 0,48 0,631 дальше
0,07 0,93 дальше 0,28 0,742 дальше 0,49 0,628 дальше
0,08 0,92 дальше 0,29 0,734 дальше 0,5 0,625 дальше
0,09 0,91 дальше 0,3 0,727 дальше 0,51 0,623 дальше
0,1 0,90 дальше 0,31 0,720 дальше 0,52 0,621 дальше
0,11 0,89 дальше 0,32 0,713 дальше 0,53 0,619 дальше
0,12 0,88 дальше 0,33 0,706 дальше 0,54 0,617 дальше
0,13 0,87 дальше 0,34 0,699 дальше 0,55 0,616 дальше
0,14 0,86 дальше 0,35 0,693 дальше 0,56 0,616 дальше
0,15 0,85 дальше 0,36 0,687 дальше 0,57 0,615 дальше
0,16 0,84 дальше 0,37 0,681 дальше 0,58 0,615 дальше
0,17 0,83 дальше 0,38 0,675 дальше 0,59 0,615 стоп
0,18 0,83 дальше 0,39 0,669 дальше
0,19 0,82 дальше 0,4 0,664 дальше
0,2 0,81 дальше 0,41 0,659 дальше
Минимальное значение x = 0,59 f(x) = 0,59^3-0,59+1 = 0,615
Метод половинного деления
Найдем минимум функции:
f(x) = x3-x+1
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
x=0.5935; f(x) = 0,5941^3-0,5941+1 = 0,616
Минимум функции с точностью ε = 0,001 f(x) = 0,616
Для данного примера методы дают с точностью ε = 0,01 практически одинаковые значения минимума f(x) = 0,616. Однако, в методе половинного деления это достигается на 6 – ом шаге, а в методе равномерного поиска на 60-ом шаге.
Решение
Шаг приращения δ=0.001
Положим a1 = a, b1 = b.
x1=(0+2-0.001)/2 = 0.9995
x2=(0+2+0.001)/2 = 1.0005
Вычислим f(x1) = 0.99900074, f(x2) = 1.00100075
EQ ε1 = \f(b-a-δ;2n)+\f(δ;2) = \f(2-0-0.001;21+1)+\f(0.001;2) = 0.50025
Итерация №1.
Поскольку f(x11) ≤ f(x12), то b2 = 0.9995, a2 = a1.
EQ ε2 = \f(0.9995-0-0.001;22+1)+\f(0.001;2) = 0.1253125
x11=(0+0.9995-0.001)/2 = 0.49925
x12=(0+0.9995+0.001)/2 = 0.50025
f(x21) = 0.6252, f(x22) = 0.6249
Итерация №2.
Поскольку f(x21) > f(x22), то a3 = 0.5003, b3 = b2.
EQ ε3 = \f(0.9995-0.50025-0.001;23+1)+\f(0.001;2) = 0.031640625
x21=(0.50025+0.9995-0.001)/2 = 0.749375
x22=(0.50025+0.9995+0.001)/2 = 0.750375
f(x31) = 0.6714, f(x32) = 0.6721
Итерация №3
.
Поскольку f(x31) ≤ f(x32), то b4 = 0.7494, a4 = a3.
EQ ε4 = \f(0.749375-0.50025-0.001;24+1)+\f(0.001;2) = 0.00825390625
x31=(0.50025+0.749375-0.001)/2 = 0.6243125
x32=(0.50025+0.749375+0.001)/2 = 0.6253125
f(x41) = 0.619, f(x42) = 0.6192
Итерация №4.
Поскольку f(x41) ≤ f(x42), то b5 = 0.6243, a5 = a4.
EQ ε5 = \f(0.6243125-0.50025-0.001;25+1)+\f(0.001;2) = 0.0024228515625
x41=(0.50025+0.6243125-0.001)/2 = 0.56178125
x42=(0.50025+0.6243125+0.001)/2 = 0.56278125
f(x51) = 0.6155, f(x52) = 0.6155
Остальные расчеты сведем в таблицу
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
