Постройте аддитивную модель временного ряда

1). Построим график ряда динамики.
На графике отчетливо видно, что сбережений населения в РФ изменяется под воздействием сезонных колебаний. Заметен рост в 4, 6 и 7 месяце каждого года (соответственно 4, 5, 17 и 18 месяцы), а затем снижение сбережений населения в РФ с восьмого месяце каждого года (соответственно 4, 5 кварталы).
Построение аддитивной модели начнем с выделения сезонной компоненты временного ряда.
В нашем случае τ=4 и τ=n/τ=24/4=6. Применим формулу (22). Получим расчетную таблицу. Среднее значение по всем 24-ти наблюдениям равно 20,85. Вычитая из средних значений по кварталам 20,85, получим последнюю строку расчетной таблицы, в которой и содержатся значения сезонной компоненты St.
t yt Скользящая средняя Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
1 11,28
2 20,93 15,91
3 13,65 16,3375 16,12375 -2,47375
4 17,78 16,7475 16,5425 1,2375
5 12,99 30,6425 23,695 -10,705
6 22,57 32,42 31,53125 -8,96125
7 69,23 35,07 33,745 35,485
8 24,89 35,1425 35,10625 -10,21625
9 23,59 23,45 29,29625 -5,70625
10 22,86 24,64 24,045 -1,185
11 22,46 22,55 23,595 -1,135
12 29,65 20,62 21,585 8,065
13 15,23 18,2825 19,45125 -4,22125
14 15,14 15,3225 16,8025 -1,6625
15 13,11 14,7575 15,04 -1,93
16 17,81 15,725 15,24125 2,56875
17 12,97 18,735 17,23 -4,26
18 19,01 19,155 18,945 0,065
19 25,15 19,845 19,5 5,65
20 19,49 19,17 19,5075 -0,0175
21 15,73 17,2275 18,19875 -2,46875
22 16,31 17,625 17,42625 -1,11625
23 17,38
24 21,08
Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получимzi= Тi+Еi =уi –Si, в столбце 4 расчетной таблицы, которая дана ниже.
Далее рассчитаем значения Δi=zi – zi-1 представленные в столбце 5 расчетной таблицы . Поскольку первые разности являются примерно одинаковыми (см. столбец 5), считаем, что ряд z имеет линейный тренд. Рассчитаем значения тренда Т. Модель тренда имеет вид T= а + b·t. Необходимые предварительные расчеты приведены в таблице в столбцах 6-8: столбец 7 получается путем возведения в квадрат значений столбца 6, столбец 8 равен произведению столбца 4 на столбец 6.
t yt Si yt - Si Δi t t2 zT Ti E = yt - (T + Si) E/ yt
1 11,28 -5,32 16,60
1 1 1 16,60 6,93 9,67
2 20,93 -2,42 23,35 6,75 2 4 4 46,71 8,14 15,21
3 13,65 7,27 6,38 -16,97 3 9 9 19,14 9,35 -2,97
4 17,78 0,48 17,30 10,92 4 16 16 69,21 10,56 6,74
5 12,99 -5,32 18,31 1,01 5 25 25 91,56 11,77 6,54
6 22,57 -2,42 24,99 6,68 6 36 36 149,96 12,98 12,01
7 69,23 7,27 61,96 36,97 7 49 49 433,73 14,19 47,77
8 24,89 0,48 24,41 -37,55 8 64 64 195,31 15,40 9,01
9 23,59 -5,32 28,91 4,50 9 81 81 260,22 16,61 12,30
10 22,86 -2,42 25,28 -3,63 10 100 100 252,83 17,82 7,46
11 22,46 7,27 15,19 -10,09 11 121 121 167,11 19,03 -3,84
12 29,65 0,48 29,17 13,98 12 144 144 350,08 20,24 8,93
13 15,23 -5,32 20,55 -8,62 13 169 169 267,19 21,45 -0,90
14 15,14 -2,42 17,56 -2,99 14 196 196 245,88 22,66 -5,10
15 13,11 7,27 5,84 -11,72 15 225 225 87,62 23,87 -18,03
16 17,81 0,48 17,33 11,49 16 256 256 277,33 25,08 -7,75
17 12,97 -5,32 18,29 0,96 17 289 289 310,98 26,29 -8,00
18 19,01 -2,42 21,43 3,14 18 324 324 385,79 27,50 -6,07
19 25,15 7,27 17,88 -3,55 19 361 361 339,75 28,71 -10,83
20 19,49 0,48 19,01 1,13 20 400 400 380,26 29,92 -10,91
21 15,73 -5,32 21,05 2,04 21 441 441 442,11 31,13 -10,08
22 16,31 -2,42 18,73 -2,32 22 484 484 412,12 32,34 -13,61
23 17,38 7,27 10,11 -8,62 23 529 529 232,56 33,55 -23,44
24 21,08 0,48 20,60 10,49 24 576 576 494,48 34,76 -14,16
Сумма 500,29 4,00 300,00 4900,00 5928,50 500,29 0,00 -2,81
Параметры уравнения линейного тренда:
b = 5928,50/4900 = 1,21.
a = 20,85 – 1,21 · 12,5 = 5,72
Таким образом, уравнение тренда имеет вид:
Т= 5,72 + 1,21 · t.
Подставляя в уравнение тренда последовательно соответствующие значения t, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 9 расчетной таблицы), например, для t = 14,5 получим
Т(14,5)= 5,72 + 1,21 · 14,5 =23,27.
После выделения тренда остаток Е получается как разность между z и T(разность значений в столбцах 4 и 9) и представлен в столбце 10 расчетной таблицы.
Заметим в целях самопроверки, что значения в столбце 2 для уi должны получаться как сумма значений в столбцах 3, 9 и 10 согласно принятой аддитивной модели.
2).Полученное уравнение временного ряда может быть использовано для краткосрочного прогнозирования