Построить математическую модель задачи линейного программирования

Допустим , что участок У1 выпустит x1 изделий вида И1, тогда участок У2 выпустит 32-x1 изделий вида И1. Аналогично что участок У1 выпустит x2 изделий вида И2, тогда участок У2 выпустит 4-x2 изделий вида И2
Рассчитаем фонд рабочего времени участка У1, помня что по условию он равен 9,5 составим ограничение
x14+x22≤9,5
Умножим обе части неравенства на 4 и получим:
x1+2x2≤38
Рассчитаем фонд рабочего времени участка У2, помня что по условию он равен 4 и должен быть израсходован полностью составим ограничение
32-x1+4-x23=4
Умножим обе части уравнения на 3
3x1+x2=88
Рассчитаем целевую функцию, помня, что затраты на производство должны быть минимальными.
F=9x1+1532-x1+20x2+304-x2→min
F=-6x1-10x2+600→min
Итак запишем математическую модель задачи
F=-6x1-10x2+600→min
x1+2x2≤383x1+x2=88x1≥0;x2≥0
Решим задачу средствами Excel
Занесем исходные данные в таблицу Excel
Находим функцию Excel «Поиск решения»
Нажимаем – «выполнить»
Итак: по результатам решения участку У1 следует выпустить 28 единиц изделия И1 и 4 ед. изделия И2, участку У2 следует выпустить 4 единицы изделия И1. При этом затраты на производство составят 392ед.
Решить задачу линейного программировании графическим методом
F=-3x1-5x2→min
3x1+2x2≤62x1-3x2≥-6x1-x2≤4x1≥0;x2≥0
На плоскости X1OX2 построим прямые соответствующие ограничениям системы и отметим соответствующие им полуплоскости
3x1+2x2=6I2x1-3x2=-6IIx1-x2=4III
I
x1
x2
II
x1
x2
III
x1
x2
0 3
0 2
0 -4
2 0
-3 0
4 0
Получили многоугольник допустимых решений OABC. На этой- же плоскости построим вектор-градиент C-3;-5 и прямую соответствующую целевой функции. Передвигая прямую соответствующую целевой функции в направлении вектора C найдем минимальное значение, ему соответствует точка В . Найдем ее координаты, это пересечение ограничений I и II
x1+2x2=62x1-3x2=-6~x1=67x2=187
Fmin=-3∙67-5∙187=-1087=-1537
3.Решить задачу линейного программирования симплекс-методом
Z=2x1+3x2→max
3x1+2x2-x3=843x1+13x2-x4=150xi≥0;i=1;4
Выразим x3 и x4 через x1 и x2
x3=3x1+2x2-84x4=3x1+13x2-150xi≥0;i=1;4
Получили первый опорный план при x1 и x2 равных нулю получим:
X100-84-150
Z1=0
План не допустим так как x3 и x4 отрицательные, что недопустимо.
Улучшить план можно за счет x2. Из первого уравнения выразим x2 и подставим полученный результат во вторую строку и целевую функцию
x2=-32x1+12x3+42x4=3x1+13-32x1+12x3+42-150xi≥0;i=1;4~x2=-32x1+12x3+42x4=-332x1+132x3+396xi≥0;i=1;4
Z=2x1+3-32x1+12x3+42=-52x1+32x3+126
X20420396
Z2=126
План допустим но не оптимален , его можно улучшить за счет переменной x3, выразим ее из второго уравнения
x2=-32x1+123313x1+213x4-79213+42x3=3313x1+213x4-79213xi≥0;i=1;4~x2=-313x1+113x4+15013x3=3313x1+213x4-79213xi≥0;i=1;4
Z=-52x1+323313x1+213x4-79213+126=1713x1+313x4+45013
X3015013-792130
Z3=45013
План можно улучшить за счет x1 выразим ее из первого уравнения
x1=133x2+13x4+50x3=3313133x2+13x4+50+213x4-79213xi≥0;i=1;4~x1=133x2+13x4+50x3=11x2+x4+66xi≥0;i=1;4
Z=1713133x2+13x4+50+313x4+45013=173x2+23x4+100
X4500660
Z4=100
Получен оптимальный допустимый план.
5. Решить транспортную задачу
В пунктах A1;A2;A3 находится однородная продукция в количествах 300,700 и 400 ед. соответственно. Себестоимость продукции в i-ом пункте равна ci2;1;4Продукцию следует доставить в пункты B1;B2;B3 и B4 в количествах 250;450;150 и 350 соответственно. Стоимости перевозки единицы продукции заданы матрицей Cij.
1)Требуется методом потенциалов найти план перевозок при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям, при обязательном условии, что продукция пункта в котором себестоимость меньшая распределяется полностью
2) вычислить суммарные затраты
Установить пункты, в которых остается нераспределенная продукция и указать ее объем
Cij=376475499365
ai=300+700+400=1400
bj=250+450+150+350=1200
Задача открытого типа так как запасы превосходят потребности.
Наименьшая себестоимость продукции во втором пункте, значит продукция A2 в количестве 700 ед