Портфель строится из ценных бумаг двух видов со следующими параметрами

Дисперсия портфеля из двух бумаг равна
,
где ρ12 – коэффициент корреляции двух бумаг;
σi– риск i-ой бумаги;
xi– ценовая доля i-ой бумаги.
Для наших данных:
или
Целевая функция для поиска минимума:
x1+x2 = 1
Определение стационарных точек.
Найдем экстремум функции F(X) = 0.4096∙x12+1.4641∙x22-0.15488∙x1∙x2, используя функцию Лагранжа:
EQ L(\x\to(X), \x\to(λ)) = F(\x\to(X)) + ∑λiφi
где F(X) - целевая функция вектора X
φi(X) - ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = 0.4096∙x12+1.4641∙x22-0.15488∙x1∙x2
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ1(X) = x1+x2-1 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L(X, λ) = 0.4096∙x12+1.4641∙x22-0.15488∙x1∙x2 + λ∙(x1+x2-1)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ .
Составим систему:
∂L/∂x1 = 0.8192∙x1-0.15488∙x2+λ = 0
∂L/∂x2 = -0.15488∙x1+2.9282∙x2+λ = 0
∂L/∂λ = x1+x2-1 = 0
Решив данную систему, получаем стационарные точки X0