Показать что поле вектора a=yzi+xzj+xyk1+x2y2z2

Так как 1+x2y2z2≠0 при любых значениях переменных, то векторное поле a определено на всём 3 — односвязная область. Поэтому для того, чтобы показать потенциальность a, достаточно доказать, что оно безвихревое, т.е. rota=0.
rota=ijk∂∂x∂∂y∂∂zyz1+x2y2z2xz1+x2y2z2xy1+x2y2z2=
=∂∂yxy1+x2y2z2-∂∂zxz1+x2y2z2i+∂∂zyz1+x2y2z2-∂∂xxy1+x2y2z2j+∂∂xxz1+x2y2z2-∂∂yyz1+x2y2z2k=
=x-x3y2z21+x2y2z22-x-x3y2z21+x2y2z22i+y-x2y3z21+x2y2z22-y-x2y3z21+x2y2z22j+z-x2y2z31+x2y2z22-z-x2y2z31+x2y2z22k=
=0.
Итак, поле вектора a является потенциальным.
Пусть a имеет потенциал U