Подпространство L1 задано как линейная оболочка векторов A1 и A2

Для нахождения базиса суммы подпространств L1 и L2 запишем векторы данных двух линейных оболочек по столбцам в матрицу, которую затем элементарными преобразованиями приведем к трапециевидной форме A:
A=111-1121-11-14220-2213-1-17420-2
Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй, умножим первую строку на (-4) и сложим с третьей, умножим первую строку на (-2) и сложим с четвертой, умножим первую строку на (-7) и сложим с пятой
111-110-1-33-30-2-24-60-111-30-3-57-9
Умножим вторую строку на (-2) и сложим с третьей, умножим вторую строку на (-1) и сложим с четвертой, умножим вторую строку на (-3) и сложим с пятой
111-110-1-33-3004-20004-20004-20
Умножим третью строку на (-1) и сложим с четвертой, умножим третью строку на (-1) и сложим с пятой
111-110-1-33-3004-200000000000
Число базисных векторов суммы подпространств равно трем . Их можно выбрать: A1,A2,B1
dim(L1+L2)=3
Далее, найдем базис пересечения данных подпространств. Для этого необходимо найти условия, при которых произвольный вектор x с координатами (ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5) принадлежит линейным оболочкам L1 и L2, а затем объединить эти условия:
Пусть x∈L1:
11ξ121ξ242ξ321ξ474ξ5
Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй, умножим первую строку на (-4) и сложим с третьей, умножим первую строку на (-2) и сложим с четвертой, умножим первую строку на (-7) и сложим с пятой
11ξ10-1-2ξ1+ξ20-2-4ξ1+ξ30-1-2ξ1+ξ40-3-7ξ1+ξ5~11ξ1012ξ1-ξ20-2-4ξ1+ξ30-1-2ξ1+ξ40-3-7ξ1+ξ5~11ξ1012ξ1-ξ200-2ξ2+ξ300-ξ2+ξ400-ξ1-3ξ2+ξ5
dimL1=2
Координаты вектора x должны удовлетворять линейной однородной системе:
-2ξ2+ξ3=0-ξ2+ξ4=0-ξ1-3ξ2+ξ5=0
Пусть x∈L2:
1-11ξ1-11-1ξ220-2ξ33-1-1ξ420-2ξ5~
Сложим первую и вторую строки, умножим первую строку на (-2) и сложим с третьей, умножим первую строку на (-3) и сложи с четвертой, умножим первую строку на (-2) и сложим с пятой:
1-11ξ1000ξ2+ξ102-4-2ξ1+ξ302-4-3ξ1+ξ402-4-2ξ1+ξ5~1-11ξ102-4-2ξ1+ξ3000ξ2+ξ1000-ξ1-ξ3+ξ4000-ξ3+ξ5
dimL2=2
Координаты вектора x должны удовлетворять линейной однородной системе:
ξ2+ξ1=0-ξ1-ξ3+ξ4=0-ξ3+ξ5=0
dimL1∩L2=dimL1+dimL2-dimL1+L2=2+2-3=1
-2ξ2+ξ3=0-ξ2+ξ4=0-ξ1-3ξ2+ξ5=0ξ2+ξ1=0-ξ1-ξ3+ξ4=0-ξ3+ξ5=0
0-21000-1010-1-300111000-10-11000-101
Поменяем местами первую и четвертую строки:
110000-1010-1-30010-2100-10-11000-101
Сложим первую и третью строки, сложим первую и пятую строки:
110000-10100-20010-210001-11000-101~11000010-100-20010-210001-11000-101
Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей, умножим вторую строку на 2 и сложим с четвертой, умножим вторую на (-1) и сложим с пятой
11000010-10000-21001-2000-12000-101~Поменяем третью и четвертую~11000010-10001-20000-2100-12000-101
Сложим третью и пятую, сложим третью и шестую:
11000010-10001-20000-2100000000-21~11000010-10001-20000-21000-21~11000010-10001-20000-21
ξ1=-ξ2ξ2=ξ4ξ3=2ξ4ξ4=12ξ5 ξ1=-12ξ5ξ2=12ξ5ξ3=ξ5ξ4=12ξ5
Положим ξ5=2C1 получим вектор базиса пересечения L1 и L2
X=C1-11212