По заданной выборке найти среднее значение

Параметры нормального распределения- это математическое ожидание и дисперсия неизвестны. Заменим оценками по выборке выборочной средней и выборочной дисперсией.
Выборочная средняя , (1)
где - среднее интервальное; - частота попаданий в интервал,
- число данных.
Выборочная дисперсия . (2)
Для расчета этих параметров составим таблицу 1.
Столбец 1 таблицы – номер по порядку;
столбец 2 – интервал данных;
столбец 3 – среднее значение интервала (столбец 2);
столбец 4 – отклонение среднего интервального от выборочного среднего;
столбец 5 – квадрат отклонения среднего интервального от выборочного среднего (значение столбца 4, возведенное в квадрат);
столбец 6 – число попаданий в данный интервал (частота);
столбец 7 – произведение данных столбца 3 на столбец 6;
столбец 8 - произведение данных столбца 5 на столбец 6.
В последней строке указывается сумма значений соответствующего столбца.
Таблица 1.
№ п/п Интервал
Хi – X i+1 Среднее интервальное,
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0-3 1,5 -10,32 106,5024 6 9 639,014
2 3-6 4,5 -7,32 53,5824 7 31,5 375,077
3 6-9 7,5 -4,32 18,6624 12 90 223,949
4 9-12 10,5 -1,32 1,7424 22 231 38,333
5 12-15 13,5 1,68 2,8224 29 391,5 81,85
6 15-18 16,5 4,68 21,9024 15 247,5 328,536
7 18-21 19,5 7,68 58,9824 7 136,5 412,877
8 21-24 22,5 10,68 114,0624 2 45 228,125
сумма
100 1182 2327,76
После заполнения 3, 6 и 7 столбцов таблицы найдем среднее
x=xi∙nin=1182100=11,82
Заполним 4, 5 и 8 столбцы и определим дисперсию.
s2=(xi-x)2nin=2327,76100=23,2776≈23,278
Среднее квадратическое отклонение.
s=23,2776=4,825Каждое значение ряда отличается от среднего значения 11,82 в среднем на 4,825
Доверительный интервал для генерального среднего . Определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента. По таблице Стьюдента находим: Tтабл(n-1;α/2) = Tтабл(99;0.025) = 2,276= tkp
11,82-2,276∙4,825100;11,82+2,276∙4,825100
11,82-2,276∙0,4825<a<11,82+2,276∙0,4825;
11,82-1,09817<a<11,82+1,09817;
10,72183<a<12,91817Доверительный интервал: (10,72183;12,91817)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Интервальный ряд изображают графически в виде Гистограммы,
которая строится так. Сначала вычисляют плотности частот разделив
относительную частоту каждого разряда на его длину.
Таблица 2
№ п/п Интервал
Хi – X i+1 частота
Относительная частота,
nin
Плотность частот,
hi
1 2 3 4 5
1 0-3 6 0,06 0,02
2 3-6 7 0,07 0,0233
3 6-9 12 0,12 0,04
4 9-12 22 0,22 0,0733
5 12-15 29 0,29 0,0967
6 15-18 15 0,15 0,05
7 18-21 7 0,07 0,0233
8 21-24 2 0,02 0,0067
сумма 100 1
Затем выбирают на плоскости систему координат и откладывают на оси Х значения, соответствующие границам разрядов. На каждом из отрезков длины 3, как на основании, строят прямоугольник, высота которого равна плотности частоты соответствующего разряда. Полученная фигура и называется Гистограммой.
Таким образом, выдвигается ноль-гипотеза Н0: случайная величина Х распределена нормально с параметрами, а = 11,82 и S = 4,825.
Для расчета вероятностей попадания случайной величины в интервал
[Хi – X i+1] будем использовать функцию Лапласа (таблица 3).
Таблица 3
Пример поиска значения функции Лапласа для значения аргумента Х=2,05, Ф(2,05)=0,9596
Вероятность попадания в интервал определяется по следующей формуле
, (4)
где значение Ф(Х) – табличное значение функции Лапласа, а
Хi= - аргумент функции Лапласа