По территориям региона приводятся данные за 200х г.
Требуется:
1). Построить линейное уравнение парной регрессии y и х.
2). Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3). Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня, и построить для нее 95% доверительный интервал.
6). На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.
Вариант.
Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х Среднедневная заработная плата, руб., y
1 74 122
2 81 134
3 90 136
4 79 125
5 89 120
6 87 127
7 77 125
8 93 148
9 70 122
10 93 157
11 87 144
12 121 165
Решение
1). Построение линейного уравнения парной регрессии y и х.
Количество наблюдений n = 12.
Вычисляем необходимые суммы:
i=112xi = 74+81+90+79+89+87+77+93+70+93+87+121 = 1041;
i=112yi = 122+134+136+125+120+127+125+
+148+122+157+144+165 = 1625;
i=112xi∙yi = 74·122+81·134+90·136+79·125+89·120+87·127+77·125+
+93·148+70·122+93·157+87·144+121·165 = 142749;
i=112xi2 = 742+812+902+792+892+872+772+932+702+932+872+1212 = 92205.
Находим выборочные характеристики и параметры уравнения регрессии ŷ – y̅ = b1 · (x – x̅) или ŷ = b0 + b1 · x, где b0 = y̅ – b1 · x̅:
а) x̅ = i=112xi / 12 = 1041 / 12 = 86,75;
б) y̅ = i=112yi / 12 = 1625 / 12 = 135,4167;
в) x2 = i=112xi2 / 12 = 92205 / 12 = 7683,75;
г) Sx2 = x2 – x̅2 = 7683,75–86,752 = 158,1875 – выборочная дисперсия x;
д) x∙y = i=112xi∙yi / 12 = 142749 / 12 = 11895,75;
е) côv(x;y) = x∙y – x̅ · y̅ = 11895,75 – 86,76·135,4167 =
= 148,3542 – выборочная ковариация;
ж) b1 = côv(x;y) / Sx2 = 148,3542 / 158,1875 = 0,9378 – коэффициент b1 называется выборочным коэффициентом регрессии y по x; он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная y при увеличении переменной x на одну единицу; в нашем случае среднедневная заработная плата y возрастает на 0,9378 руб. при возрастании среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного x на 1 руб.;
з) уравнение регрессии имеет вид ŷ – y̅ = b1 · (x – x̅) или ŷ = b0 + b1 · x; получаем ŷ – 135,4167 = 0,9378 · (x – 86,75) или ŷ = 54,0593 + 0,9378 · x, где b0 = y̅ – b1 · x̅ = 135,4167 – 0,9378 · 86,75 = 54,0593.
2). Вычисление линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации.
Выборочный линейный коэффициент парной корреляции вычислим по формуле r = (x∙y – x̅ · y̅) / Sx / Sy.
Ранее были вычислены:
а) x∙y – x̅ · y̅ = 148,3542;
б) Sx2 = 158,1875.
Дополнительно вычисляем:
а) Sx = 158,1875 = 12,5773;
б) i=112yi2 = 1222+1342+1362+1252+1202+1272+1252+
+1482+1222+1572+1442+1652 = 222513;
в) y2 = i=112yi2 / 12 = 222513 / 12 = 18542,75;
г) Sy2 = y2 – y̅2 = 18542,75 – 135,41672 = 205,0764;
д) Sy = 205,0764 = 14,3205;
е) r = (x∙y – x̅ · y̅) / Sx / Sy = 148,3542 / 12,5773 / 14,3205 = 0,8237.
Выборочный линейный коэффициент парной корреляции r = 0,8237 близок к единице, то есть связь между переменными достаточно тесная, следовательно зависимость между x и y – линейная.
Так как r = 0,8237 > 0, корреляционная связь между переменными является прямой
. При этом увеличение одной из переменных ведёт к увеличению другой.
Средняя ошибка аппроксимации позволяет составить общее суждение о качестве модели. Её вычисляют исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению: A̅ = 1/n · i=1nyi-yi/yi · 100%.
Вычисления средней ошибки аппроксимации сведены в таблицу:
i xi yi ŷi yi – ŷi (yi – ŷi) / yi |(yi – ŷi) / yi|
1 74 122 123,4592 -1,4592 -0,0120 0,0120
2 81 134 130,0241 3,9759 0,0297 0,0297
3 90 136 138,4646 -2,4646 -0,0181 0,0181
4 79 125 128,1484 -3,1484 -0,0252 0,0252
5 89 120 137,5268 -17,5268 -0,1461 0,1461
6 87 127 135,6511 -8,6511 -0,0681 0,0681
7 77 125 126,2728 -1,2728 -0,0102 0,0102
8 93 148 141,2782 6,7218 0,0454 0,0454
9 70 122 119,7079 2,2921 0,0188 0,0188
10 93 157 141,2782 15,7218 0,1001 0,1001
11 87 144 135,6511 8,3489 0,0580 0,0580
12 121 165 167,5376 -2,5376 -0,0154 0,0154
Σ = 0,5470
A̅ = 1/12 · i=112yi-yi/yi · 100% = 1/12 · 0,5470 · 100% = 4,56%.
Так как средняя ошибка аппроксимации не превышает 8–10%, то общее качество модели можно считать удовлетворительным.
3). Выполнение прогноза заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня, и построение для нее 95% доверительного интервала.
Прогнозное значение: x* = x̅ · 1,07 = 86,75 · 1,07 ≈ 92,8.
По полученному уравнению регрессии ŷ = 54,0593 + 0,9378 · x оцениваем условное математическое ожидание Mx(Y) для прогнозного значения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
