По данным n=10 машиностроительных предприятий методамикорреляционного анализа исследуется взаимосвязь между следующимипоказателями: x1 - рентабельность (%); x2 - премии и вознаграждения наодного работника (млн.руб.); х3 - фондоотдача.
N п/п х1 x2 х3
1 13,26 1,23 1,45
2 10,16 1,04 1,30
3 13,72 1,80 1,37
4 12,82 0,43 1,65
5 10,63 0,88 1,91
6 9,12 0,57 1,68
8 23,39 1,70 1,89
9 14,68 0,84 1,94
10 10,05 0,60 2,06
Требуется:
1)Рассчитать вектора средних и среднеквадратических отклонений,матрицу парных коэффициентов корреляции,при α=0,05 проверить значимость всех парных коэффициентов корреляции;
2)Рассчитайте частный коэффициент корреляции r12/3 и r13/2, при α=0,5 проверить значимость частный коэффициент корреляции r12/3 и r13/2;
г) По корреляционной матрице R рассчитайте оценку множественногокоэффициента корреляции r1(23) и при α=0,5 проверить гипотезу Н0:
r1(23)=0.
Решение
1)Рассчитать вектора средних и среднеквадратических отклонений,матрицу парных коэффициентов корреляции,при α=0,05 проверить значимость всех парных коэффициентов корреляции:
Найдем значения средних арифметических (xj) и средних квадратических отклонений (Sj), где j =1, 2, 3, а также парных коэффициентов корреляции r12, r13 и r23 по формулам:
x=1nxij , sj=1ni=1n(xij-xj)2 , rjl=1ni=1nxij-xj(xil-xl)sjsl
x=x1x2...xk, s=s1s2...sk, R=1r21rk1 r121rk2 ... ... r1kr2k1
где xij – значение i-го наблюдения j-го фактора; ril – выборочный парный коэффициент корреляции, характеризует тесноту линейной связи между показателями xj и xl. При этом rjl является оценкой генерального парного коэффициента корреляции. R – Матрица парных коэффициентов корреляции.
x1=13,26+10,16+13,72+12,82+10,63+9,12+23,39+14,68+10,059=13,09
x2=1,23+1,04+1,08+0,43+0,88+0,57+1,70+0,84+0,609=1,01
x3=1,45+1,30+1,37+1,65+1,91+1,68+1,89+1,94+2,069=1,69
s1=19(13,26-13,09)2+(10,16-13,09)2+…+(10,05-13,09)2=4,07
s2=19(1,23-1,01)2+(1,04-1,01)2+…+(0,60-1,01)2=0,46
s3=19(1,45-1,69)2+(1,30-1,69)2+…+(2,06-1,69)2=0,26
ρ12=x1x2-x1∙x2s1∙s2=14,418-13,09∙1,014,07∙0,46=0,6407 ,
где x1x2=19∙13,26∙1,23+10,16∙1,04+…+10,05∙0,60=14,418
ρ13=x1x3-x1∙x3s1∙s3=22,378-13,09∙1,694,07∙0,26=0,1842 ,
где x1x3=19∙13,26∙1,45+10,16∙1,30+…+10,05∙2,06=22,378
ρ23=x2x3-x2∙x3s2∙s3=1,67-1,01∙1,690,46∙0,26=-0,35095 ,
где x2x3=19∙1,23∙1,45+1,04∙1,30+…+0,60∙2,06=1,67
Получаем:
X=13,091,011,69, S=4,070,460,26, Rпарн=10,64070,18420,64071-0,350950,1842-0,350951
б) проверим при α=0,05 значимость парного коэффициента корреляции ρ12 и найти его интервальную оценку с доверительной вероятностью γ=0,95:
Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т
. е. гипотеза H0:ρ12 = 0, проверяется по t – критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле:
tнабл=ρ1-ρ2n-l-1
где ρ – соответственно оценка частного или парного коэффициента корреляции; l – порядок частного коэффициента корреляции, т. е. число фиксируемых факторов.
α = 0,05, ν = n − l − 1 = 9 – 1 – 1 = 7 tкр = 2,36
1) tнабл 1/2=0,64071-0,640729-1-1=0,64070,7678∙2,65=2,21
Т.к. |tнабл 1/2| > tкр (|2,88| > 2,36), то гипотеза Н0:ρ12=0 отклоняется, т. е. парный коэффициент корреляции не равен нулю (ρ12 ≠ 0) – значимый парный коэффициент корреляции.
2) tнабл 1/3=0,18421-0,184229-1-1=0,18420,9829∙2,65=0,50
Т.к. |tнабл 1/3| < tкр (|0,497| < 2,36), то гипотеза Н0:ρ12=0 отклоняется, т. е. частный коэффициент корреляции равен нулю (ρ12 = 0) – не значимый парный коэффициент корреляции
3) tнабл 2/3=-0,350951--0,3509529-1-1=-0,350950,9364∙2,65=-0,99
Т.к. |tнабл 2/3| > tкр (|0,99| < 2,36), то гипотеза Н0:ρ12=0 принимается, т. е. частный коэффициент корреляции равен нулю (ρ12 = 0) –не значимый парный коэффициент корреляции
2)Рассчитайте частный коэффициент корреляции r12/3 и r13/2, при α=0,5 проверить значимость частный коэффициент корреляции r12/3 и r13/2:
а) Найдем частный коэффициент корреляции r12/3 по формуле:
r12/3=-R12R11∙R22 ,
где R12 – алгебраическое дополнение элемента r12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы и т.д..
R12=(-1)3∙0,6407-0,3510,1841=0,705
R11=(-1)2∙1-0,351-0,3511=0,877
R22=(-1)4∙10,1840,1841=0,966
r12/3=-0,7050,877∙0,966=-0,766
Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
