По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7 4,1 11 28,7 77 45,1 16,81 121 49
2 7 3,7 13 25,9 91 48,1 13,69 169 49
3 7 3,9 15 27,3 105 58,5 15,21 225 49
4 7 4 17 28 119 68,0 16 289 49
5 7 4,3 18 30,1 126 77,4 18,49 324 49
6 7 4,8 19 33,6 133 91,2 23,04 361 49
7 8 5,3 19 42,4 152 100,7 28,09 361 64
8 8 5,4 20 43,2 160 108,0 29,16 400 64
9 8 5,1 20 40,8 160 102,0 26,01 400 64
10 10 6,8 21 68 210 142,8 46,24 441 100
11 9 6,6 21 59,4 189 138,6 43,56 441 81
12 11 6,4 22 70,4 242 140,8 40,96 484 121
13 9 6,9 22 62,1 198 151,8 47,61 484 81
14 11 7,2 25 79,2 275 180,0 51,84 625 121
15 12 7,4 28 88,8 336 207,2 54,76 784 144
16 12 8,2 29 98,4 348 237,8 67,24 841 144
17 12 8,1 30 97,2 360 243,0 65,61 900 144
18 12 8,6 31 103,2 372 266,6 73,96 961 144
19 14 9,6 32 134,4 448 307,2 92,16 1024 196
20 14 9,6 36 134,4 504 345,6 92,16 1296 196
Сумма 192 126 449 1295,5 4605 3060,4 862,6 10931 1958
Ср. знач. 9,6 6,3 22,45 64,775 230,25 153,02 43,13 546,55 97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:
2,395830
1,854724
6,522844
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,966558
0,942562
0,957590
Находим
0,995333
0,075188
1,641429
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,770534
0,204706
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,653187
0,175831
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,653187% или 0,175831% соответственно . Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:



Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,957590 > 0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,664655
0,229999
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
–
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,966558 0,942562 =
0,966558 1 0,957590 0,942562 0,957590 1
= 1 · 1 · 1 + 0,942562 · 0,966558 · 0,957590 + 0,966558 · 0,957590 · 0,942562 –
– 0,942562 · 1 · 0,942562 – 0,966558 · 0,966558 · 1 – 1 · 0,957590 · 0,957590 = 0,005171
r11 = 1 0,957590 = 1 – 0,9575902 = 0,083021
0,957590 1
Коэффициент множественной корреляции
0,968356.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 7 4,1 11 6,549 0,203
2 7 3,7 13 6,302 0,488
3 7 3,9 15 6,651 0,122
4 7 4 17 6,901 0,010
5 7 4,3 18 7,275 0,075
6 7 4,8 19 7,848 0,718
7 8 5,3 19 8,345 0,119
8 8 5,4 20 8,520 0,270
9 8 5,1 20 8,221 0,049
10 10 6,8 21 9,989 0,000
11 9 6,6 21 9,790 0,623
12 11 6,4 22 9,666 1,780
13 9 6,9 22 10,163 1,353
14 11 7,2 25 10,688 0,098
15 12 7,4 28 11,112 0,788
16 12 8,2 29 11,984 0,000
17 12 8,1 30 11,959 0,002
18 12 8,6 31 12,532 0,283
19 14 9,6 32 13,603 0,158
20 14 9,6 36 13,903 0,009
Сумма 192 126 449
7,150
Ср