По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7,0 4,3 11,0 30,1 77 47,3 18,49 121 49
2 7,0 3,7 13,0 25,9 91 48,1 13,69 169 49
3 7,0 3,9 15,0 27,3 105 58,5 15,21 225 49
4 7,0 4,0 17,0 28 119 68,0 16 289 49
5 7,0 4,5 18,0 31,5 126 81,0 20,25 324 49
6 7,0 4,8 19,0 33,6 133 91,2 23,04 361 49
7 8,0 5,3 19,0 42,4 152 100,7 28,09 361 64
8 8,0 5,4 20,0 43,2 160 108,0 29,16 400 64
9 8,0 4,9 20,0 39,2 160 98,0 24,01 400 64
10 10,0 6,8 21,0 68 210 142,8 46,24 441 100
11 9,0 6,8 21,0 61,2 189 142,8 46,24 441 81
12 11,0 6,4 22,0 70,4 242 140,8 40,96 484 121
13 9,0 6,9 22,0 62,1 198 151,8 47,61 484 81
14 11,0 7,2 25,0 79,2 275 180,0 51,84 625 121
15 12,0 7,2 28,0 86,4 336 201,6 51,84 784 144
16 12,0 8,2 29,0 98,4 348 237,8 67,24 841 144
17 12,0 8,1 30,0 97,2 360 243,0 65,61 900 144
18 12,0 8,6 31,0 103,2 372 266,6 73,96 961 144
19 14,0 9,6 32,0 134,4 448 307,2 92,16 1024 196
20 14,0 9,8 36,0 137,2 504 352,8 96,04 1296 196
Сумма 192 126,4 449 1298,9 4605 3068 867,68 10931 1958
Ср. знач. 9,6 6,32 22,45 64,9 230,25 153,4 43,38 546,55 97,9
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
2,396
1,855
6,523
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,961
0,943
0,952
Находим
0,881
0,108
1,613
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,682
0,293
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,580
0,252
Т.е . увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,580% или 0,252% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
0,961
0,943
0,952
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,952 > 0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,628
0,327
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
–
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,961 0,943 =
0,961 1 0,952 0,943 0,952 1
= 1 · 1 · 1 + 0,943 · 0,961 · 0,952 + 0,961 · 0,952 · 0,943 –
– 0,943 · 1 · 0,943 – 0,961 · 0,961 · 1 – 1 · 0,952 · 0,952 = 0,0064
r11 = 1 0,952 = 1 – 0,9522 = 0,0943
0,952 1
Коэффициент множественной корреляции
0,966.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 7 4,3 11 6,587 0,170
2 7 3,7 13 6,274 0,528
3 7 3,9 15 6,665 0,112
4 7 4 17 6,969 0,001
5 7 4,5 18 7,517 0,267
6 7 4,8 19 7,889 0,790
7 8 5,3 19 8,330 0,109
8 8 5,4 20 8,525 0,276
9 8 4,9 20 8,085 0,007
10 10 6,8 21 9,867 0,018
11 9 6,8 21 9,867 0,752
12 11 6,4 22 9,622 1,899
13 9 6,9 22 10,063 1,129
14 11 7,2 25 10,650 0,122
15 12 7,2 28 10,973 1,055
16 12 8,2 29 11,962 0,001
17 12 8,1 30 11,982 0,000
18 12 8,6 31 12,530 0,281
19 14 9,6 32 13,519 0,231
20 14 9,8 36 14,126 0,016
Сумма 192 126,4 449
7,765
Ср