По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб)

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7,0 3,7 9,0 25,9 63,0 33,3 13,69 81,0 49,0
2 7,0 3,7 11,0 25,9 77,0 40,7 13,69 121,0 49,0
3 7,0 3,9 11,0 27,3 77,0 42,9 15,21 121,0 49,0
4 7,0 4,1 15,0 28,7 105,0 61,5 16,81 225,0 49,0
5 8,0 4,2 17,0 33,6 136,0 71,4 17,64 289,0 64,0
6 8,0 4,9 19,0 39,2 152,0 93,1 24,01 361,0 64,0
7 8,0 5,3 19,0 42,4 152,0 100,7 28,09 361,0 64,0
8 9,0 5,1 20,0 45,9 180,0 102,0 26,01 400,0 81,0
9 10,0 5,6 20,0 56,0 200,0 112,0 31,36 400,0 100,0
10 10,0 6,1 21,0 61,0 210,0 128,1 37,21 441,0 100,0
11 11,0 6,3 22,0 69,3 242,0 138,6 39,69 484,0 121,0
12 11,0 6,4 22,0 70,4 242,0 140,8 40,96 484,0 121,0
13 11,0 7,2 23,0 79,2 253,0 165,6 51,84 529,0 121,0
14 12,0 7,5 25,0 90,0 300,0 187,5 56,25 625,0 144,0
15 12,0 7,9 27,0 94,8 324,0 213,3 62,41 729,0 144,0
16 13,0 8,1 30,0 105,3 390,0 243,0 65,61 900,0 169,0
17 13,0 8,4 31,0 109,2 403,0 260,4 70,56 961,0 169,0
18 13,0 8,6 32,0 111,8 416,0 275,2 73,96 1024,0 169,0
19 14,0 9,5 35,0 133,0 490,0 332,5 90,25 1225,0 196,0
20 15,0 9,5 36,0 142,5 540,0 342,0 90,25 1296,0 225,0
Сумма 206 126 445 1391,4 4952 3084,6 865,5 11057 2248
Ср. знач. 10,3 6,3 22,25 69,57 247,6 154,23 43,275 552,85 112,4
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
2,512
1,893
7,602
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,984
0,965
0,976
Находим
1,193
0,029
2,146
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,899
0,087
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,730
0,062
Т.е . увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,73% или 0,062% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
0,984
0,965
0,976
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,976 > 0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,738
0,105
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
–
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,984 0,965 =
0,984 1 0,976
0,965 0,976 1
= 1 · 1 · 1 + 0,965 · 0,984 · 0,976 + 0,984 · 0,976 · 0,965 –
– 0,965 · 1 · 0,965 – 0,984 · 0,984 · 1 – 1 · 0,976 · 0,976 = 0,0015
r11 = 1 0,976 = 1 – 0,9762 = 0,0465
0,976 1
Коэффициент множественной корреляции
0,984.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 7,0 3,7 9,0 6,818 0,033
2 7,0 3,7 11,0 6,876 0,015
3 7,0 3,9 11,0 7,114 0,013
4 7,0 4,1 15,0 7,467 0,219
5 8,0 4,2 17,0 7,644 0,127
6 8,0 4,9 19,0 8,537 0,288
7 8,0 5,3 19,0 9,014 1,028
8 9,0 5,1 20,0 8,804 0,038
9 10,0 5,6 20,0 9,400 0,360
10 10,0 6,1 21,0 10,026 0,001
11 11,0 6,3 22,0 10,293 0,500
12 11,0 6,4 22,0 10,412 0,346
13 11,0 7,2 23,0 11,395 0,156
14 12,0 7,5 25,0 11,810 0,036
15 12,0 7,9 27,0 12,345 0,119
16 13,0 8,1 30,0 12,670 0,109
17 13,0 8,4 31,0 13,056 0,003
18 13,0 8,6 32,0 13,324 0,105
19 14,0 9,5 35,0 14,483 0,234
20 15,0 9,5 36,0 14,512 0,238
Сумма 206 126 445   3,967
Ср