Парная линейная регрессия Постановка задачи из генеральной совокупности произведена выборка значений для двух случайных переменных

Результативный (зависимый, Y) и факторный (независимый, Х) признаки.
Предположив, что «величина прибыли» объясняется переменной «площадь магазина».
2. Построим корреляционное поле Х – Y.
3. Определим визуально пригодность линейной функции регрессии.
На основании поля корреляции выдвинем гипотезу о том, что связь между всеми возможными значениями х и у, то есть для генеральной совокупности линейна: y=+x. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменную у множества других, неучтенных в уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величин xi и yi приобретет вид yi=+xi+ i. Здесь i.- случайные ошибки (отклонения, возмущения).
4. Оценить тесноту линейной связи между Х и Y по величине коэффициента корреляции.
Для анализа тесноты линейной связи между Х и Y вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим :

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Если ryx>0,7, то связь считается сильной. Если ryx<0,4, слабая связь. Этот коэффициент дает объективную оценку лишь при линейной зависимости.
В нашем примере ryx= 0,977.
Т.е. связь между величиной прибыли и площадью магазина очень тесная.
5. По выборочным данным оценить коэффициенты уравнения регрессии и записать его в явном виде.
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты

78 0,5 39 6084 0,25 0,507 0,000
86 0,7 60,2 7396 0,49 0,652 0,002
115 1 115 13225 1 1,176 0,031
125 1,5 187,5 15625 2,25 1,357 0,021
150 1,8 270 22500 3,24 1,809 0,000
Итого 554 5,5 671,7 64830 7,23 5,5 0,054
Средние значения 110,8 1,1 134,34 12966 1,446 1,1
Найдем компоненты 1МНК :

Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемплощади на 1 (м2) величина прибыли возрастает в среднем на 0,018 (млн . руб.)
6. При заданном уровне значимости = 0,05 оценить существенность коэффициентов уравнения регрессии. Построить для них доверительные интервалы.
Оценку статистической значимости параметров регрессии икорреляции проведем с помощью статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.
Табличное значение критерия для числа степеней свободыи уровня значимости α = 0,05 составит tтабл = 3,18.
Далее рассчитываем по каждому из параметров его стандартные ошибки: и .
Фактическое значение статистик
,