Строится модель цены автомобиля на вторичном рынке (у) в зависимости от пробега (x1), срока эксплуатации (x2) и объема двигателя (x3). Имеются данные по 15 автомобилям одной и той же модели. Исходные данные за двенадцать месяцев представлены в таблице 7.
Таблица 7
Исходные данные
№ автомобиля Цена автомобиля, долл. (у) Пробег, тыс. км (x1) Срок эксплуатации, лет (x2) Объем двигателя, л (x3)
1 12 500,00 130,00 12,00 2,30
2 13 700,00 120,00 10,00 1,90
3 9 200,00 300,00 15,00 1,80
4 11 400,00 180,00 13,00 2,10
5 15 800,00 150,00 14,00 2,60
6 12 300,00 80,00 8,00 1,70
7 16 300,00 170,00 10,00 2,40
8 10 200,00 210,00 11,00 1,90
9 11 000,00 250,00 7,00 1,90
10 12 700,00 150,00 9,00 1,70
11 15 000,00 90,00 4,00 2,20
12 10 500,00 230,00 13,00 2,40
13 17 200,00 120,00 8,00 2,30
14 16 000,00 110,00 9,00 2,50
15 17 100,00 120,00 6,00 2,60
Требуется:
Построить матрицу коэффициентов парной линейной корреляции и определить факторы наиболее тесно связанные с зависимой переменной Y.
Используя метод исключения или метод последовательного включения факторов, определите набор значимых факторов.
Постройте уравнение множественной регрессии только со значимыми факторами.
Проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (а = 0,05).
Вычислить коэффициент детерминации R2, сделать вывод о качестве модели регрессии.
Вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделайте вывод о точности модели.
Найдите значения коэффициентов эластичности, а также β- и ∆-коэффициентов. Дайте содержательную интерпретацию полученных значений.
Постройте интервальный прогноз величины у для уровня значимости а = 0,05.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции используем пакет анализ Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Корреляция» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 9).
Рис.9. Ввод параметров инструмента «Корреляция»
Матрица парных коэффициентов корреляции представлена в таблице 8.
Таблица 8
Матрица парных коэффициентов корреляции
Y
X1
X2
X3
Y
1
X1
-0,694 1
X2
-0,478 0,560 1
X3
0,661 -0,245 0,004 1
Исходя из полученных данных можно сделать вывод о том, что цена автомобиля (у) наиболее тесно связан с фактором пробег (x1), так как между ними прослеживается заметная обратная связь, так как коэффициент парной корреляции равен -0,694, что по шкале Чеддока входит в интервал 0,5 <rxy< 0,7. С фактором (x3) - объем двигателя признак (у) - цена автомобиля также связан заметной прямой линейной связью, так как коэффициент корреляции равен 0,661 и входит в тот же интервал 0,5 <rxy< 0,7. С фактором (x2) прослеживается обратная умеренная связь.
Используя метод исключения определим набор значимых факторов.
Расчет параметров линейной множественной регрессии со всеми факторами осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 10).
Рис.10. Ввод параметров регрессии
Результаты построения линейной регрессии представлены на рисунке 11.
Рис.11. Вывод итогов регрессии
Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии на уровне значимости a = 0,05, используя t - статистику Стьюдента.
Выдвигаем гипотезы: H0:a, b1,b2,b3 = 0, коэффициент статистически не значим; H1:a, b1,b2,b3 ≠ 0, коэффициент статистически значим.
Наблюдаемые значения t - статистики Стьюдента для коэффициентов регрессии a, b1,b2,b3 определены с помощью Пакета Анализа «Регрессия» (рисунок 11). Так, tнабл a=2,661, tнабл b1=-2,334, tнабл b2=-1,404, tнабл b3=3,751.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α = 0,05 и степенями свободы k=12-4-1=7, либо пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х», заполнив необходимые поля диалогового меню, находим tкрит=2,365.
Таким образом, при оценки статистической значимости коэффициентов регрессии установлено, что подтверждается статистическая значимость коэффициентов b1 и b3, так как для них выполняются все три условия, а именно: tнабл b1=2,524 >tкрит = 2,365; Р-значение для b1 = 0,04, что меньше 0,05 и границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, то есть не имеют 0 внутри себ. Для b3: tнабл b3=7,882 > tкрит= 2,365; Р-значение для b3 = 0,003, что меньше 0,05 и границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, то есть не имеют 0 внутри себя. Коэффициент b2 статистически не значим, так как tнабл b2=0,61 <tкрит= 2,365, следовательно его исключаем из модели.
Расчет параметров линейной множественной регрессии с факторами: x1 и x3 осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel
. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню (рисунок 12).
Рис.12. Ввод параметров регрессии
Результаты построения линейной регрессии представлены на рисунке 13.
Рис.13. Вывод итогов регрессии
Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии на уровне значимости a = 0,05, используя t - статистику Стьюдента.
Выдвигаем гипотезы: H0:a, b1,b3 = 0, коэффициент статистически не значим; H1:a, b1,b3≠ 0, коэффициент статистически значим.
Наблюдаемые значения t - статистики Стьюдента для коэффициентов регрессии a, b1 и b3 определены с помощью Пакета Анализа «Регрессия» (рисунок 13). Так, tнабл a=2,437, tнабл b1=-3,713, tнабл b3=3,423.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α = 0,05 и степенями свободы k=15-2-1=12, либо пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х», заполнив необходимые поля диалогового меню, находим tкрит=2,179.
Таким образом, при оценки статистической значимости коэффициентов регрессии установлено, что все коэффициенты модели статистически значимы, следовательно, останавливаем исключение факторов.
Построим уравнение множественной регрессии со значимыми факторами, которые были определены в пункте 2.
В ходе выявления значимых факторов модели множественной регрессии, были отобраны следующие факторы:
x1 – пробег, тыс. км.;
x3 – объем двигателя, л.
Исходя из полученных данных с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 13) получено уравнение множественной регрессии со значимыми факторами: ŷ = 7 812,026-24,108×x1 + 4 390,723 × x3.
Полученное уравнение множественной линейной регрессии, описывающее связь цены автомобиля (y) от значимых факторов показывает, что при увеличении пробега на 1 тыс. км. (при неизменном уровне остальных факторов модели) цена автомобиля в среднем уменьшится на 24,108 дол. При увеличении объема двигателя на 1 л. (при неизменном уровне остальных факторов модели) цена автомобиля в среднем увеличится на 4 390,423 дол.
Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (а = 0,05).
Выдвигаем нулевую гипотезу о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2 = 0, модель незначима; H1: R2 ≠ 0, модель значима на уровне значимости α = 0,05. Далее определяем фактическое значение F – критерия.
Fфакт=0,7381-0,738×15-2-12=16,875.
Фактическое значение также было определено в пункте 2 с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 13).
Далее необходимо определить табличное значение критерия на уровне значимости a = 0,05, используя таблицу распределения Фишера или встроенную функцию Excel «FРАСПОБР» получаем Fтабл(0,05;2;15-2-1=12) = 3,885.
Поскольку фактическое значение Fфакт = 16,875 >Fтабл = 3,885, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
