Параметры m = 4, n = 2
Балансовая модель Леонтьева
2376170906780Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат.
0,2 0,4 0,1
A= 0 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
в которой число , стоящее на пересечении і-ой строки и j-го столбца равно , где - поток средств производства из і-ой отрасли в j-ую, а - валовой объем продукции j-ой отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).
Задан также вектор объемов конечной продукции.
1. Составить уравнение межотраслевого баланса.
2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли Х1, Х2, Х3, обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y. (Расчеты рекомендуется производить с точность до четырех знаков после запятой).
3. Составить матрицу X потоков средств производства .
4. Определить общие доходы каждой отрасли .
5. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:
-89535190500потребляющие отрасли
отрасли производящие I II III конечный продукт
валовой
продукт
I
II
III
общий доход
валовой продукт
6. Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле Ап=(Е- А)-1 где Е - единичная матрица размера 3x3.
7 ***. Рассчитать валовые выпуски 1-й и 2-ой отрасли и конечный продукт 3-й отрасли на планируемый период при условии увеличения конечного продукта 1-й и 2-й отрасли на 8%, оставив без изменения объем валового продукта 3-й отрасли .
Замечание. Показать явно
вычисление определителя матрицы Е-А;
вычисление обратной матрицы ;
проверку путём вычисления произведения матрицы Е-А на обратную ей.
Решение
Матрица А коэффициентов прямых затрат задана следующими данными:
2360295164465
0,2 0,4 0,1
A= 0 0,3 0,3
0,4 0,1 0,2
Известен вектор Y объемов конечной продукции: , то есть конечный продукт, полученный первой производящей отраслью у1 = 1000 ед., второй - у2 = 700 ед., третьей - у3 = 800 ед.
1. Составим уравнение межотраслевого баланса. Для этого введем вектор валового продукта:
где х1 - объем валовой продукции I отрасли; х2 - объем валовой продукции II отрасли; х3 - объем валовой продукции III отрасли.
Уравнение межотраслевого баланса в матричном форме имеет вид:
X = А • X + Y. (*)
Записав его с учетом исходных условий задачи, в виде системы алгебраических уравнений получим:
х1 = 0,2х1 + 0,4х2 + 0,1х3 + 1000,
х2 =0,3 х2 + 0,2х3 + 700, (1)
х3 = 0,4х1 + 0,1х2 + 0,2х3 + 800.
2. Для удобства решения системы (1) вначале запишем ее в общем
виде:
Решение проведем, например, методом Крамера с точностью до 4-х знаков после запятой.
Формулы Крамера: где - определитель матрицы системы, это вспомогательный определитель, который получаем из основного определителя путем замены его k-го столбца на столбец свободных членов системы. Вычислим все эти определители с помощью разложения по элементам 1-й строки:
Δ = 0,8 -0,4 -0,1
= 0,8 ·
– (-0,4)·
– 0,1 ·
=
0 0,7 -0,2
0,7 -0,2
0 -0,2
0 0,7
-0,4 -0,1 0,8
-0,1 0,8
-0,4 0,8
-0,4 -0,1
1000 -0,4 -0,1
= 1000
Δ1= 700 0,7 -0,2
0,7 -0,2 – (-0,4)· 700 -0,2 – 0,1 · 700 0,7 =
800 -0,1 0,8
-0,1 0,8
800 0,8
800 -0,1
0,8 1000 -0,1
Δ2= 0 700 -0,2 = 0,8 700 -0,2 – 1000 · 0 -0,2 – 0,1 · 0 700 =
-0,4 800 0,8
800 0,8
-0,4 0,8
-0,4 800
0,8 -0,4 1000
Δ3= 0 0,7 700 = 0,8 0,7 700 – (-0,4)· 0 700 +1000 · 0 0,7 =
-0,4 -0,1 800
-0,1 800
-0,4 800
-0,4 -0,1
Тогда по формулам Крамера:
2395,1613
1688,1720
2408,6022
Получили объем валовой продукции каждой из трех производящих отраслей в стоимостном выражении.
3
. Составим матрицу X потоков средств производства, зная что , (і, j = 1,2,3):
х11 = 0,2 2395,1613 = 479,0323
х12 = 0,4 1688,1720 = 675,2688
х13 = 0,1 2408,6022 = 240,8602
х21 = 0 2395,1613 = 0,0000
х22 = 0,3 1688,1720 = 506,4516
х23 = 0,2 2408,6022 = 481,7204
х31 = 0,4 2395,1613 = 958,0645
х32 = 0,1 1688,1720 = 168,8172
х33 = 0,2 2408,6022 = 481,7204
Получаем:
193738522161500
479,0323 675,2688 240,8602
X = 0,0000 506,4516 481,7204
958,0645 168,8172 481,7204
4. Вычислим общие доходы каждой потребляющей отрасли: .
Получаем:
Р1 = 2395,1613 ( 479,0323 + 0,0000 + 958,0645 ) = 958,0645
Р2 = 1688,1720 ( 675,2688 + 506,4516 + 168,8172 ) = 337,6344
Р3 = 2408,6022 ( 240,8602 + 481,7204 + 481,7204 ) = 1204,3011
5. Составим таблицу межотраслевого баланса:
Потребляющие
отрасли
Производящие
отрасли I II III Конечный продукт Валовой продукт
I 479,0323 675,2688 240,8602 1000 2395,1613
II 0,0000 506,4516 481,7204 700 1688,1720
III 958,0645 168,8172 481,7204 800 2408,6022
Общий доход 958,0645 337,6344 1204,3011
Валовый продукт 2395,1613 1688,1720 2408,6022
6
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
